定理 过$n$个有标志顶点的树的数目等于$n^{n-2}$. 此定理说明用$n-1$条边将$n$个已知的顶点连接起来的连通图的个数是$n^{n-1}$.也可以这样理解,将n个城市连接起来的树状网络有$n^{n-1}$种可能方案.所谓树状,指的是用$n-1$条边将$n$个城市连接起来,即无环.当然,建造一个树状网络一般是求其长度最短或造价最少等.Cayley定理只能说明可能方案的数目. 证明 Cayley定理的证明方法很多,下面采用最聪明也是最容易理解的一一对应法.不失一般性,假定已知的n个顶点标

题目链接: E - Tunnel Network ZOJ - 3604 题目大意: 给定编号1-n的点,和给定编号1-S 的联通图,刚开始1号联通图只有 1个顶点,就是编号为1的顶点,2号联通图也只有1个顶点,编号为2的顶点,同理 3,4,5知道s: 剩下的顶点还有 s+1,s+2,s+3,….到n: 这些点你可以随机分配,以连边的方式加入到S个联通图里, 现在问...最后由N个点构成的森林..种类,方案数有多少? 凯莱定理讲解:http://www.cnblogs.com/zhj5chengf

斐蜀定理 内容 斐蜀定理又叫贝祖定理,它的内容是这样的: 若$a,bin N$,那么对于任意x,y,方程$ax+by=gcd(a,b)*k(kin N)$一定有解,且一定有一组解使$ax+by=gcd(a,b)$ 推论 a,b互素的充要条件是方程$ax+by=1$有整数解. 证明 令$d=gcd(a,b)$,则$d|a,d|b$ 那么就能得到$d|(ax+by)$ 于是我们设s为$ax+by$能得到的最小正整数值,则$d|s$. 令$q=adiv s$(此处为整除),$r=amod s$,则$a

Sum Problem's Link:   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704 Mean: 给定一个大整数N,求1到N中每个数的因式分解个数的总和. analyse: N可达10^100000,只能用数学方法来做. 首先想到的是找规律.通过枚举小数据来找规律,发现其实answer=pow(2,n-1); 分析到这问题就简单了.由于n非常大,所以这里要用到费马小定理:a^n ≡ a^(n%(m-1)) * a^(m-1)≡ a^(n%(m-

题目:http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=12083 这道题还是挺耐想的(至少对我来说是这样).开始时我只会60%的算法,在借鉴了巨神zhx的代码并查阅了官方题解后才终于懂了点了. 两两互质的情形 首先,考虑简化的情形:若模板i的长度为li,我们加上限制,即所有模板的长度两两互质. 假设当前位置x对应第i个模板的位置为ai,当且仅当,而li是两两互质的,由中国剩余定理,x在范围内有唯一解.这样,这个问题就被秒掉了.

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1326  Solved: 815[Submit][Status][Discuss] Description jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了. 有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换.jyy 的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 . jyy 将 K个瓶子交给

Polya定理:设G={π1,π2,π3........πn}是X={a1,a2,a3.......an}上一个置换群,用m中颜色对X中的元素进行涂色,那么不同的涂色方案数为:1/|G|*(mC(π1)+mC(π2)+mC(π3)+...+mC(πk)). 其中C(πk)为置换πk的循环节的个数. Polya定理的基础应用. 你得算出旋转和翻转时,每种置换的循环节数. 旋转时,每种置换的循环节数为gcd(n,i): 翻转时,若n为奇数,共有n个循环节数为n+1>>1的置换, 若n为偶数,共有n

[bzoj1951]: [Sdoi2010]古代猪文 因为999911659是个素数 欧拉定理得 然后指数上中国剩余定理 然后分别lucas定理就好了 注意G==P的时候的特判 /* http://www.cnblogs.com/karl07/ */ #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using

题意 : 给出数 x (1 ≤ x ≤ 10^12 ),要求求出所有满足 1 ≤ n ≤ x 的 n 有多少个是满足 n*a^n  = b ( mod p ) 分析 : 首先 x 的范围太大了,所以使用枚举进行答案的查找是行不通的 观察给出的同余恒等式,发现这个次方数 n 毫无规律 自然想到化成费马小定理的形式 令 n = i*(p-1)+j 式子化成 根据费马小定理不难证明(猜???)周期为 p*(p-1) ==> 来自 Tutorial,反正我是不知道怎么证,貌似评论下面有大神用欧拉函数来证

GCD SUM Time Limit: 8000/4000MS (Java/Others) Memory Limit: 128000/64000KB (Java/Others) SubmitStatus Problem Description 给出N,M执行如下程序:long long  ans = 0,ansx = 0,ansy = 0;for(int i = 1; i <= N; i ++)   for(int j = 1; j <= M; j ++)       if(gcd(i,j)

题目链接: http://poj.org/problem?id=1426 Description Given a positive integer n, write a program to find out a nonzero multiple m of n whose decimal representation contains only the digits 0 and 1. You may assume that n is not greater than 200 and there

你随便写一下出来,发现polya原理的式子里面好多gcd是相同的,gcd(n,i)=k可以改写成gcd(n/k,i/k)=1,也就是说指数为k的项的个数为phi(n/k),就很好求了,最后除的那个n直接放到指数上即可,没必要用逆元. import java.util.*; import java.io.*; public class Main { public static int phi(int n){ int ans=n; for(int i=2;i*i<=n;++i){ if(n%i==0

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/634/C 来源:牛客网 题目描述 给出一个区间[L,R],求出[L,R]中孪生质数有多少对. 由于这是一个区间筛质数的模板题.所以小k不屑于去写. 所以出题人只好yy了另一道题. 定义k生互质数为满足y + k与y - k互质的数. 现在给出区间[L,R],你需要输出区间内k生互质数有多少对 我们说一对k生互质数在区间[L,R]内,当且仅当y+k \in[L,R]y+k∈[L,R]且y-k \in[L,R]y−k∈[

参考资料: 1.matrix67 <经典证明:Prüfer编码与Cayley公式> 2.百度百科 3.Forget_forever prufer序列总结 4.维基百科 5.dirge的学习笔记 一.Cayley定理 我们先讲讲Cayley公式/定理?. 凯莱定理,是所有群 G 同构于在 G 上的对称群的子群. 什么鬼?! 其实定理还有另一种表述:过n个有标志顶点的树的数目等于n^(n-2),也即完全图K_n有n^(n-2)棵生成树. 此定理说明用n-1条边将n个一致的顶点连接起来的连通图的个数

P2817 宋荣子的城堡一道找规律的题,现在深入追究发现了有趣的东西.1 12 23 94 64显然k^(k-1) 在日照的时候也推出来了.3 9今天推错了,要列出所有的情况,然后再选,否则会漏掉.答案是(k^(k-1)) * ((n-k)^(n-k))对了,我卡速米一直打的是错的.要对指数为0的情况特判,不然会死循环. 现在,告诉我,why? cayley定理(凯莱定理)对于有n个节点,生成树的方案有多少种?答案是n^(n-2)推导过程如下:k表示现在有多少子树显然初始时,k==n现在从n个节

题目描述 saruka有一座大大的城堡!城堡里面有n个房间,每个房间上面都写着一个数字p[i].有一天,saruka邀请他的小伙伴LYL和MagHSK来城堡里玩耍(为什么没有妹子),他们约定,如果某一个人当前站在i号房间里,那么下一步他就要去p[i]号房间,在下一步就要去p[p[i]]号房间. 为了增加趣味性,saruka决定重新书写一下每个房间的p[i],以满足: <1>如果从编号为1-k的某个房间走,按照规则走,必须能走回1号房间.特别的,如果从1号房间开始走,也要走回1号房间.(至少走一

概述 系数为常数,递推项系数均为一次的,形如下面形式的递推式,称为线性递推方程. \[f[n]=\begin{cases} C &n\in Value\\ a_1 f[n-1]+a_2 f[n-2]+⋯a_t f[n-t]&n∉Value \end{cases}\] \((a_1,a_2,-,a_t,C∈\mathbb{R},0<t<n)\) 其中\(Value\)为终止条件的集合. 例如:斐波那契\((Fibonacci)\)数列则通过下面这个线性递推方程定义 \[f[n]=

自闭集训 Day2 线性代数 高斯消元 做实数时,需要找绝对值最大的作为主元,以获取更高精度. 在欧几里得环(简单例子是模合数)意义下也是对的.比如模合数意义下可以使用辗转相除法消元. 欧几里得环:对于任意\(a,b\),都可以定义\(a=qb+r\ \ (|r|<b)\),于是可以辗转相除.(显然,多项式环也是欧几里得环) 逆矩阵 方法与高斯消元类似,左边摆一个原矩阵,右边摆一个单位矩阵,高斯消元的过程中左边的行操作都在右边同样做一遍.最后左边剩下一个单位矩阵,右边就是逆矩阵. 对于方程\(A

1.高斯消元 在模意义下依然有效,对主元求逆即可. 甚至可以模合数,需要对两个方程辗转相除,复杂度\(O(n^3\log p)\). 辗转相除法只要能定义带余除法就有效. 逆矩阵:对于矩阵\(A\),定义逆矩阵\(A^{-1}\)为满足\(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=e\)的矩阵. 求逆矩阵可以高斯消元.设有\(A\cdot A^{-1}=e\)的形式,把\(A\)消元成单位矩阵的过程中,对方程右侧进行同样的操作. 应用:设有方程\(A\cdot x=b\)(大写字母

离散数学 II(知识点汇总) 目录 离散数学 II(知识点汇总) 代数系统 代数系统定义 例子 二元运算定义 运算及其性质 二元运算的性质 封闭性 可交换性 可结合性 可分配性 吸收律 等幂性 消去律 特殊的元素性质 幺元 零元 逆元 证明逆元且唯一定理 二元运算表中性质的体现 半群 广群 成立条件 半群 定义 特性 子半群 独异点 成立条件 特性 证明是半群或独异点 群和子群 群 定义 阶数.有限群.无限群 1阶.2阶.3阶.4阶群 特性 幂特性 运算表特性 运算 子群 定义 判定条件 性质