本文用势能法证明\(Splay\)的均摊复杂度,对\(Splay\)的具体操作不进行讲述. 为了方便本文的描述,定义如下内容: 在文中我们用\(T\)表示一棵完整的\(Splay\),并(不严谨地)用\(|T|\)表示\(T\)这棵\(Splay\)的节点数目. 如无特殊说明,小写英文字母(如\(x\),\(y\),\(z\))在本文中表示\(T\)的一个节点,并(不严谨地)用\(|x|\)表示以节点\(x\)为根的子树的大小,\(x\in T\)表示节点\(x\)在\(T\)中. 一般我们默认

非旋FHQ Treap复杂度证明(类比快排) a,b都是sort之后的排列(从小到大) 由一个排列a构造一颗BST,由于我们只确定了中序遍历=a,但这显然是不能确定一棵树的形态的. 由一个排列b构造一颗Heap(大根),由于没有重复元素,然后人为钦定左儿子<右儿子,那么他的后序遍历=b. 但是一棵树,如果中序遍历和后续遍历确定了,那么他的形态也就确定了.证明考虑构造一种由中序和后序遍历的序列还原一颗确定的树的算法. 考虑对于一个后序遍历,最后那个数\(u\)一定是根. 那么确定\(u\)在中序遍

关于$SAM$的复杂度证明(大部分是对博客的我自己的理解和看法) 这部分是我的回忆,可省略 先回忆一下$SAM$ 我所理解的$SAM$,首先扒一张图 初始串$aabbabd$ 首先发现,下图里的$S->9$的一条直线是$aabbabd$是原串 那么从这里我们就可以看到$endpos$关系了,和$AC$自动机不同的是 发现一些子串结尾是相同的,那么就可以共用一个节点,那么从起点到这个点能表示的所有子串的$endpos$相同,那么显然可以共用这个点,这就是空间上的能省就省 又因为这个$SAM$是为了

min_25 筛是由 min_25 大佬使用后普遍推广的一种新型算法,这个算法能在 \(O({n^{3\over 4}\over log~ n})\) 的复杂度内解决所有的积性函数前缀和求解问题(个人感觉套上素数定理证明的复杂度的话应该要把下面的 log 改成 ln ,不过也差不多啦~) 其实 min_25 筛的入门TXC 大佬的 blog 已经写的非常棒了QVQ 所以搬博客的话鉴于博主太懒了就不干了...直接帮 TXC 大佬安利博客完事 这篇博客主要的目的是证明网上大多没有的 min_25 筛

在摊还分析中,通过求数据结构的一系列的操作的平均时间,来评价操作的代价.这样,即使这些操作中的某个单一操作的代价很高,也可以证明平均代价很低.摊还分析不涉及概率,它可以保证最坏情况下每个操作的平均性能. 摊还分析有三种常用的技术: 聚合分析,它确定$n$个操作的总代价的上界为$T(n)$,所以每个操作的平均代价为$\frac{{T(n)}}{n}$.每个操作都有相同的摊还代价. 核算法:分析每个操作的摊还代价,不同于聚合分析,每种操作的摊还代价是不同的,核算法将序列中较早的操作的余额作为“信用”

线性时间选择算法中,最坏情况仍然可以保持O(n). 原因是通过对中位数的中位数的寻找,保证每次分组后,任意一组包含元素的数量不会大于某个值. 普通的Partition最坏情况下,每次只能排除一个元素,所以会造成O(n2)的复杂度. 具体证明可以参考: 王云鹏论文<线性时间选择算法时间复杂度深入研究>

引言 KMP算法应该是看了一次又一次,比赛的时候字符串不是我负责,所以学到的东西又还给网上的博客了-- 退役后再翻开看,看到模板,心想这不是\(O(n^2)\)的复杂度吗? 有两个循环也不能看做是\(O(n^2)​\)的,这要用到摊还分析． 模板 这里用到的模板是算竞上的 calc_next() Next[1] = 0; for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) { while (j > 0 && a[i] != a[j + 1]) j = Nex

(b,a%b) a%b<=min(b,a%b)/2 a>=b时每次至少缩减一半 a<b时下次a>b 所以复杂度最多2log(max(a,b)) 证明:a%b<=min(a,a%b)/2 a>b时 b<=a/2 那么a%b<b<=b<=a/2 a>b时 b>a/2 那么a%b=a-b<=a/2 a<b时 a%b=a 证毕

以下均为内网 树上染色 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4033 可怜与超市 http://hzoj.com/contest/62/problem/5 可以简单的列出状态转移方程. 它的转移过程类似: void dfs(int x) { ;i<p[x].size();++i) dfs(p[x][i]); ; memset(tmp[cur],0x3f,sizeof(tmp[cur])); tmp[cur][][]=tmp[cur][

\(Splay\)的复杂度分析 不论插入,删除还是访问,我们可以发现它们的复杂度都和\(splay\)操作的复杂度同阶,只是一点常数的区别 我们不妨假设有\(n\)个点的\(splay\),进行了\(m\)次\(splay\)操作 采用势能分析 我们记\(w(x) = \left \lceil \log_2 (size(x)) \right \rceil\),注意以\(2\)为底和上取整 我们定义势能函数为\(\varphi = \sum w(x)\) (记第\(i\)次操作操作完之后,势能为\

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Balanced-Binary-Tree.html 注意是简单教程,不是入门教程. splay 1. 旋转: 假设点 y 原是点 x 的 father,旋转操作可以在不改变中序遍历的基础上,将 y 变成 x 的儿子.例如: 旋转后: 代码: int wson(int x){ return son[fa[x]][1]==x; } void pushup(int x){ tot[x]=cnt[x]+tot[son[

Gold is everywhen! - somebody 启发式合并 将小的集合一个个插入到大的集合. 每次新集合大小至少比小集合大一倍,因此每个元素最多合并\(\log n\)次,总复杂度为\(n\log n\) × 插入复杂度. splay合并 将小的splay按中序遍历一个个插入到大的splay. 可证明复杂度为\(O(n\log n)\). 没什么特殊的应用. 线段树合并 int merge(int x, int y, int l, int r) { if(!~x) return y;

Splay 均摊复杂度证明见此处 \(\rightarrow\) 链接 代码如下 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1e5+10; const int inf=0x3f3f3f3f; struct node{ #define ls(x) t[x].ch[0] #define rs(x) t[x].ch[1] int fa,ch[2],val,size,cnt; }t[maxn]; int tot,root;

转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_7c4c33190100sg9r.html Splay Tree(又叫伸展树)本质上也是一棵二叉查找树.它不是严格平衡的,但通过一种伸展(splay)操作可以使它一次操作的时间均摊复杂度为O(logN).详细时间复杂度证明请参考集训队论文.这里,我只说说伸展树的实际操作. 和其他二叉查找树一样,Splay Tree支持查找询问.修改.加入.删除等操作,但又有所不同. 对于询问,每次找到目标值后,把目标位置伸展到根. 对于修改,与

万年不更的blog主更新啦!主要是最近实在忙,好不容易才从划水做题的时间中抽出一段时间来写这篇blog 首先声明:这篇blog写的肯定会很基础...因为身为一个蒟蒻深知在茫茫大海中找到一个自己完全能够看懂的blog有多么的难..(说多了都是泪.)所以当然希望所有初学者都能看懂这篇博文啦~ 说实话在学这个算法之前有跟强大的巨神zxyer学过treap和fhq_treap,所以对平衡树有一定的了解.当然都是理论阶段,虽然都打过一两题,但是忘得快..所以几乎等于没打. 认真重学了一遍平衡树(尤其是sp

下面给出Splay的实现方法(复杂度证明什么的知道是 nlogn 就可以啦) 首先对于一颗可爱的二叉查找树,是不能保证最坏nlogn的复杂度(可以想象把一个升序序列插入) (二叉查找树保证左子树元素大小都小于根元素大小,根元素大小都小于右子树元素大小,且子树都是二叉查找树) 所以我们需要一些非常巧妙的旋转操作 (ratate)来优化这棵树(并让他改名叫Splay) (图片顺序全反了2333) 1.节点 x 的父节点 y 是根节点.这时,如果 x 是 y 的左孩子,我们进行一次 Zig (右旋)操

一.简介 Splay(伸展树)是平衡树中的一种.它通过不断将某个节点旋转到根节点的位置,使整棵树仍满足 BST 的性质,并且保持平衡而不至于退化为链. 频繁访问的节点会被移动到离根节点较近的位置,进而获得更快的访问速度. 可以通过均摊复杂度证明,\(n\) 个点,进行 \(m\) 次 Splay 操作,最终的时间复杂度是 \(\mathcal{O}((n+m)\log n)\).证明. 二.基本操作 一些维护的信息: \(rt\) \(tot\) \(fa(x)\) \(lc(x)\) \(rc

参考 有空再更新下用c++, 下面用的Java Dijkstra:适用于权值为非负的图的单源最短路径,用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV) BellmanFord:适用于权值有负值的图的单源最短路径,并且能够检测负圈,复杂度O(VE) SPFA:适用于权值有负值,且没有负圈的图的单源最短路径,论文中的复杂度O(kE),k为每个节点进入Queue的次数,且k一般<=2,但此处的复杂度证明是有问题的,其实SPFA的最坏情况应该是O(VE). Floyd:每对节点之间的最短路径. 先给出结论: (1

查询算法的流程 如果查询与当前结点的区域无交集,直接跳出. 如果查询将当前结点的区域包含,直接跳出并上传答案. 有交集但不包含,继续递归求解. K-D Tree 如何划分区域 可以借助下文图片理解. 我们不仅可以将 K-D Tree 理解为一个高维二叉搜索树,通过某一维标准值进行元素的划分. 还可以理解为使用一些直线(线段或射线)将整个空间划分为若干个区域,便于缩小搜索范围,以达到剪枝的目的. 2-D 查询复杂度证明 有问题请在评论区指出,谢谢! 可以知道,时间开销最大的地方在于流程中"有交集但

定义 第\(x\)次操作后,势能为\(\phi(x)\),该操作实际复杂度\(c(x)\),均摊复杂度\(a(x)\). 定义\(a(x)=c(x)+\phi(x)-\phi(x-1)\). 那么总复杂度为$\phi(n)-\phi(0)+\sum c(x) $. 简单应用 Q:对于一个初始为0的二进制数,每次+1,求n次操作复杂度. A:定义\(\phi(x)\)为\(i\)次操作后1的个数,对于一次+1 ,1个0->1,x个1->0,那么\(a(x)= (1+x) + (1-x)=2\),