在使用BA平差之前,对每一个观测方程,得到一个代价函数.对多个路标,会产生一个多个代价函数的和的形式,对这个和进行最小二乘法进行求解,使用优化方法.相当于同时对相机位姿和路标进行调整,这就是所谓的BA. 在优化过程中,对每一个代价函数求取雅克比矩阵E和F,形成一个H矩阵,正因为H矩阵的稀疏性,才可是使用稀疏方法对BA进行求解.把一个大的稀疏矩阵,通过特定的消元法,消解为一个小的稠密矩阵,降低计算量. 摘抄部分有趣的链接,如有不适,请移步原文. 参考原文链接:Jacobian矩阵和Hessian矩

Hessian矩阵与牛顿法 牛顿法 主要有两方面的应用: 1. 求方程的根: 2. 求解最优化方法: 一. 为什么要用牛顿法求方程的根? 问题很多,牛顿法 是什么?目前还没有讲清楚,没关系,先直观理解为 牛顿法是一种迭代求解方法(Newton童鞋定义的方法). 假设 f(x) = 0 为待求解方程,利用传统方法求解,牛顿法求解方程的公式: f(x0+Δx) = f(x0) + f′(x0) Δx 即 f(x) = f(x0) + f′(x0) (x-x0) 公式可能大家会比较熟悉,一阶泰勒展式,

http://baike.baidu.com/link?url=o1ts6Eirjn5mHQCZUHGykiI8tDIdtHHOe6IDXagtcvF9ncOfdDOzT8tmFj41_DEsiUCrmNL3MxKwmEGV4yUGiK 之前的我到底在干嘛!!!!啊~~~~ 只能安慰自己,认为为时已晚的时候恰恰是最早的时候. 看了一另外一个做鱼眼的女生,youfuruyuankui(又觉得远远不如的意思?). 算了,就这样吧.关于Hessian矩阵,这个到时候肯定也是要展开的.什么是 Hessi

在寻找极大极小值的过程中,有一个经典的算法叫做Newton's method,在学习Newton's method的过程中,会引入两个矩阵,使得理解的难度增大,下面就对这个问题进行描述. 1, Jacobian矩阵矩阵 对于一个向量函数F:$R_{n}$ -> $R{m}$是一个从欧式n维到欧式m维空间的函数(好像有点难理解,请看下面),这个函数由m个实函数组成,每一个函数的输入自变量是n维的向量,即$(y_{1}(x_{1},\cdots,x_{n}), \cdots,y_{m}(x_{1},

http://blog.sina.com.cn/s/blog_7e1ecaf30100wgfw.html 在数学中,海塞矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,一元函数就是二阶导,多元函数就是二阶偏导组成的矩阵.求向量函数最小值时可以使用,矩阵正定是最小值存在的充分条件.经济学中常常遇到求最优的问题,目标函数是多元非线性函数的极值问题,尚无一般的求解方法,但判定局部极小值的方法就是用hessian矩阵: 在x0点上,hessian矩阵是负定的,且各分量的一阶偏导数为0,则x0

梯度向量 定义: 目标函数f为单变量,是关于自变量向量x=(x1,x2,-,xn)T的函数, 单变量函数f对向量x求梯度,结果为一个与向量x同维度的向量,称之为梯度向量: 1. Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式. 还有, 在代数几何中, 代数曲线的雅可比量表示雅可比簇:伴随该曲线的一个代数群, 曲线可以嵌入其中. 雅可比矩阵 定义: 目标函数f为一个函数向量,f=(f1(x),f2(x),-fm(x))T;其中,自变量x=

1.Jacobian矩阵 在矩阵论中,Jacobian矩阵是一阶偏导矩阵,其行列式称为Jacobian行列式.假设 函数 $f:R^n \to R^m$, 输入是向量 $x \in R^n$ ,输出为向量 $f(x) \in R^m$ ,那么对应的Jacobian矩阵 $J$ 是一个 $m*n$ 的矩阵,其定义如下: \[\mathbf J = \frac{d\mathbf f}{d\mathbf x} = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial \mathbf{f}}{\

Hessian矩阵与多元函数极值 海塞矩阵(Hessian Matrix),又译作海森矩阵,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵.虽然它是一个具有悠久历史的数学成果.可是在机器学习和图像处理(比如SIFT和SURF特征检測)中,我们也经常遇到它.所以本文就来向读者道一道Hessian Matrix的来龙去脉.本文的主要内容包括: 多元函数极值问题 泰勒展开式与Hessian矩阵 多元函数极值问题 回忆一下我们是怎样处理一元函数求极值问题的. 比如.f(x)=x2,我们会先求一阶导数,即f′(x)

想必单独论及" 梯度.Hessian矩阵.平面方程的法线以及函数导数"等四个基本概念的时候,绝大部分人都能够很容易地谈个一二三,基本没有问题. 其实在应用的时候,这几个概念经常被混淆,本文试图把这几个概念之间的关系整理一下,以便应用之时得心应手. 这四个概念中,Hessian矩阵是最不容易混淆,但却是很多人难以记住的概念,其它三个概念很容易记住,但却在某些时候很容易混淆. Hessian矩阵:设有凸函数f(X),X是向量(x1,x2,..., xn),Hessian矩阵M定义为:M的第

本文转载自: Xianling Mao的专栏 =========================================================================== 想必单独论及“ 梯度.Hessian矩阵.平面方程的法线以及函数导数”等四个基本概念的时候,绝大部分人都能够很容易地谈个一二三,基本没有问题. 其实在应用的时候,这几个概念经常被混淆,本文试图把这几个概念之间的关系整理一下,以便应用之时得心应手. 这四个概念中,Hessian矩阵是最不容易混淆,但却是

考虑一个函数$y=f(\textbf{x}) (R^n\rightarrow R)$,y的Hessian矩阵定义如下: 考虑一个函数:$$f(x)=b^Tx+\frac{1}{2}x^{T}Ax\\其中b^T=[1,3,5], A在代码中可读,可以自定义$$ 求该函数在x = [0,0,0]处海森矩阵值的python代码如下: 本代码需要用到torch.autograd包中的核心函数torch.autograd.grad.相邻随笔中有详细参考解析.大致原理是人工求导并保留了计算图,所以求二阶导很

在医院实际环境中,经常遇到有问题的患者,对于一些特殊的场景,比如骨折,肺结节,心脑血管问题 需要图像对比增强来更为清晰的显示病灶助于医生确诊,先看效果: 肺纹理增强: 肺结节增强: 血管对比增强: 骨骼对比增强: 根据参考资料: MATLAB版本: https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/fileexchange/24409-hessian-based-frangi-vesselness-filter 算法原理: https://baike.baidu.co

根据本系列教程文章上一篇说到,在完成C++和Opencv对Hessian矩阵滤波算法的实现和封装后, 再由C#调用C++ 的DLL,(参考:C#处理医学图像(一):基于Hessian矩阵的血管肺纹理骨骼增强对比) 功能虽然已经实现,但在实际应用中要考虑到性能和耦合,本篇将介绍性能方面的注意点以及和其他功能的联动. 我们将Demo里面的功能集成到正式工程中: 1.新建一个新窗体,用来显示结果和调整滤波参数: 其中滑块控件选择工具箱中的Slider,定义好控件样式,变化事件选择PreviewMous

最近开始学习图像处理相关知识,碰到对像素点求黑塞矩阵查了资料才搞懂. 给定一个图像f(x,y)上的一点(x,y).其黑塞矩阵如下: 因为导数的公式是f'(x)=(f(x+dx)-f(x))/dx在数字图像里,通常用相邻像素的灰度值来计算,它们的距离 dx=1.一阶导数就是相邻像素的灰度值的差f'(x) = f(x+1)-f(x)从二维图像来看,沿X方向和Y方向的一阶偏导数分别为f'x(x,y) = f(x+1,y)-f(x,y)f'y(x,y) = f(x,y+1)-f(x,y)把一阶偏导数的计

就是海赛(海色)矩阵,在网上搜就有. 在数学中,海色矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, Hessian矩阵是多维变量函数的二阶偏导数矩阵,H(i,j)=d^2(f)/(d(xi)d(xj)) 它是对称的.如果是正定的的可用导数=0的变量组确定它的极小值,负定的确定它的极大值,否则无法确定极值. 1.极值(极大值或极小值)的定义 设有定义在区域D Rn上的函数 y=f(x)=f(x1,...,xn) . 对于区域D的一内点x0=(x10,...,xn0),若存在x0的一个

(一)牛顿法解最大似然估计 牛顿方法(Newton's Method)与梯度下降(Gradient Descent)方法的功能一样,都是对解空间进行搜索的方法.其基本思想如下: 对于一个函数f(x),如果我们要求函数值为0时的x,如图所示: 我们先随机选一个点,然后求出该点的切线,即导数,延长它使之与x轴相交,以相交时的x的值作为下一次迭代的值. 更新规则为: 那么如何将牛顿方法应用到机器学习问题求解中呢? 对于机器学习问题,我们优化的目标函数为极大似然估计L,当极大似然估计函数取得最大时,其导

1.求解方程. 并不是所有的方程都有求根公式,或者求根公式很复杂,导致求解困难.利用牛顿法,可以迭代求解. 原理是利用泰勒公式,在x0处展开,且展开到一阶,即f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0) 求解方程f(x)=0,即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0,求解x = x1=x0-f(x0)/f'(x0),因为这是利用泰勒公式的一阶展开,f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)处并不是完全相等,而是近似相等,这里求得的x1并不能让f(x)=0,只能说f(x1)的值比

Newton's Method 在求最优解时,前面很多地方都用梯度下降(Gradient Descent)的方法,但由于最优步长很难确定,可能会出现总是在最优解附近徘徊的情况,致使最优解的搜索过程很缓慢.牛顿法(Newton's Method)在最优解的搜索方面有了较大改进,它不仅利用了目标函数的一阶导数,还利用了搜索点处的二阶导数,使得搜索算法能更准确地指向最优解. 我们结合下图所示的一个实例来描述牛顿法的思想.假设我们想要求得参数\theta,使得f(\theta)=0.算法的描述如下: 随

常见优化算法实现 这里实现的主要算法有: 一维搜索方法: 黄金分割法 二次差值法 多维搜索算法 最速下降法 partan加速的最速下降法 共轭梯度法 牛顿法 拟牛顿法 使用函数表示一个用于优化的目标,包括其梯度函数和hessian矩阵函数 import numpy as np import math #用于测试的一个多元函数的例子 def f(x): return (x[0]-1)**2+5*(x[1]-5)**2+(x[2]-1)**2+5*(x[3]-5)**2 #f(x)函数的gradie

一.梯度下降法 梯度:如果函数是一维的变量,则梯度就是导数的方向:      如果是大于一维的,梯度就是在这个点的法向量,并指向数值更高的等值线,这就是为什么求最小值的时候要用负梯度 梯度下降法(Gradient Descent) 梯度下降法是最早最简单,也是最为常用的最优化方法.梯度下降法实现简单,当目标函数是凸函数时,梯度下降法的解是全局解.一般情况下,其解不保证是全局最优解,梯度下降法的速度也未必是最快的.梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向,因为该方向为当前位置的最快下