引入 常想起在空间里见过的一些智力题,这个题你见过吗: 一堆苹果,\(3\)个\(3\)个地取剩\(1\)个,\(5\)个\(5\)个地取剩\(1\)个,\(7\)个\(7\)个地取剩\(2\)个,苹果最少有几个? 够焦头烂额的(雾 大力算可知至少有16个. 我们把它抽象成数学问题: 求满足 \[\begin{cases}x\equiv1\pmod{3}\\x\equiv1\pmod{5}\\x\equiv2\pmod{7}\end{cases}\] 的最小正整数\(x\). 感性地猜到有一个长

数论_CRT(中国剩余定理)& Lucas (卢卡斯定理) 前言 又是一脸懵逼的一天. 正文 按照道理来说,我们应该先做一个介绍. 中国剩余定理 中国剩余定理,Chinese Remainder Theorem,又称孙子定理,给出了一元线性同余方程组的有解判定条件,并用构造法给出了通解的具体形式. 现在有方程组:中国剩余定理指出: 扩展中国剩余定理 在一般情况下,要求任两个数互质这个条件太苛刻了,CRT派不上用场,我们需要一个更具普遍性的结论,这就是EX-CRT.虽然是称为EX-CRT,但这个定

前言: 中国剩余定理又名孙子定理.因孙子二字歧义,常以段子形式广泛流传. 中国剩余定理并不是很好理解,我也理解了很多次. CRT 中国剩余定理 中国剩余定理,就是一个解同余方程组的算法. 求满足n个条件的最小的x. 看起来很麻烦. 先找一个特殊情况:$m_1,m_2,...m_n$两两互质. 这个时候,构造$M=m_1*m_2*...m_n$; 令$M_i=M/m_i$; 所以,构造$n$个数,其中第$i$个数是除$i$之外的其他所有数的倍数,并且第$i$个数$mod m_i =1$ 即:$M_

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2480 题目背景 “在那山的那边海的那边有一群小肥猪.他们活泼又聪明,他们调皮又灵敏.他们自由自在生活在那绿色的大草坪,他们善良勇敢相互都关心……” ——选自猪王国民歌 很久很久以前,在山的那边海的那边的某片风水宝地曾经存在过一个猪王国.猪王国地理位置偏僻,实施的是适应当时社会的自给自足的庄园经济,很少与外界联系,商贸活动就更少了.因此也很少有其他动物知道这样一个王国. 猪王国虽然不大,但是土地肥沃,屋舍俨

中国剩余定理 CRT 正常版本CRT 要解的是一个很容易的东西 \[ \begin{aligned} x\equiv a_1(mod\ m_1)\\ x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(mod\ m_n) \end{aligned} \] 保证\(m_1,m_2...m_n\)之间两两互质,求最小的\(x\). 设\(M=\prod m_i\). 首先我们确定一点,我们求出了任意一个满足条件的\(x\)之后,只需要对其模\(M\)就是最终的答案.

今天在$xsy$上翻题翻到了一道扩展CRT的题,就顺便重温了下(扩展CRT模板也在里面) 中国剩余定理是用于求一个最小的$x$,满足$x\equiv c_i \pmod{m_i}$. 正常的$CRT$有一个微小的要求,就是$\forall i,j (m_i,m_j)=1$. 在某些情况下,这个式子无法被满足,这个时候就要用扩展$CRT$来求解了. 我们先假设我们只有两条方程要被求解,它们分别是: $\begin{cases} x\equiv c_1 \pmod{m_1}\\x\equiv c_2

时间限制:1 秒 内存限制:32 兆 特殊判题:否 提交:266 解决:189 题目描述: Some people believe that there are three cycles in a person's life that start the day he or she is born. These three cycles are the physical, emotional, and intellectual cycles, and they have periods of l

1.欧几里得算法(辗转相除法) 直接上gcd和lcm代码. int gcd(int x,int y){ ?x:gcd(y,x%y); } int lcm(int x,int y){ return x*y/gcd(x,y); } 2.扩欧:exgcd:对于a,b,一定存在整数对(x,y)使ax+by=gcd(a,b)=d ,且a,b互质时,d=1. x,y可递归地求得. 我懒得改返回值类型了 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,

中国剩余定理 CRT 推导 给定\(n\)个同余方程 \[ \left\{ \begin{aligned} x &\equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod{m_2} \\ &... \\ x &\equiv a_n \pmod{m_n} \end{aligned} \right. \] \(m_1, m_2 , ... , m_n\)两两互质 令\(M = \prod_{i=1}^{n} m_i\),求\(x \mod M\)

中国剩余定理(CRT) 中国剩余定理出自中国的某本古书,似乎是孙子兵法?(雾 其中有这样一个问题: 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 即,对于这样一个方程组: \[ \begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\x\equiv a_2\pmod{m_2}\\x\equiv a_3\pmod{m_3}\\\dots\\x\equiv a_i\pmod{m_i}\end{cases} \] 我们已知所有\(a_i,m_i\),求可行解\(x

数论守门员二号 =.= 中国剩余定理: 1.一次同余方程组: 一次同余方程组是指形如x≡ai(mod mi) (i=1,2,…,k)的同余方程构成的组 中国剩余定理的主要用途是解一次同余方程组,其中m1,m2,...,mk互质 2.中国剩余定理: 令M=m1*m2*...*mk(即所有m的lcm)ti为同余方程M/mi*ti≡1(mod mi)的最小正整数解 则存在解x=∑ai*M/mi*ti 通解为x+i*M 最小非负整数解为(x%M+M)%M (我承认这段是抄的orz 原文看起来更方便:ht

中国剩余定理,又叫孙子定理. 作为一个梗广为流传.其实它的学名叫中国单身狗定理. 中国剩余定理 中国剩余定理是来干什么用的呢? 其实就是用来解同余方程组的.那么什么又是同余方程组呢. 顾名思义就是n个同余方程. 形如 如果只有一个方程的话那么是很容易用exgcd来解决. 但如果变成n个就需要用到CRT了. 下面我们言归正传. 首先我们要知道只有满足m1,m2,mn两两互质才能运用CRT. 首先,我们令M=Πni=1. 令Mi=M/mi,这样我们就可以满足Mi%mk=0(k!=i). 然后我们在构

中国剩余定理(CRT) & 扩展中国剩余定理(ExCRT)总结 标签:数学方法--数论 阅读体验:https://zybuluo.com/Junlier/note/1300035 前置浅讲 前置知识点:\(Exgcd\) 这两个东西都是用来解同余方程组的 形如 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv B_1(mod\ W_1)\\ x\equiv B_2(mod\ W_2)\\ \cdots\\ x\equiv B_n(mod\ W_n)\\ \end{aligne

只看懂了CRT,EXCRT待补.... 心得:记不得这是第几次翻CRT了,每次都有迷迷糊糊的.. 中国剩余定理用来求解类似这样的方程组: 求解的过程中用到了同余方程. x=a1( mod x1) x=a2( mod x2) x=a3( mod x3) 假设: n1=a1( mod x1) n2=a2( mod x2) n3=a3( mod x3)已知n1满足除以3余2,能不能使得n1+n2的和仍然满足%x1=a1? 所以n2应该是x2的倍数,其余同理. 所以当答案为n1+n2+n3时,n1应该是

问题背景   孙子定理是中国古代求解一次同余式方程组的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作<孙子算经>卷下第二十六题,叫做"物不知数"问题,原文如下:   有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数.<孙子算经>中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称

中国剩余定理 ——!x^n+y^n=z^n 想必大家都听过同余方程这种玩意,但是可能对于中国剩余定理有诸多不解,作为一个MOer&OIer,在此具体说明. 对于同余方程: x≡c1(mod m1) x≡c2(mod m2) ··· x≡cn (mod mn) [其中任意的两个mi,mj互质] 我们可以构造出一个解: 令m=Πai[0<i<=n],Mi*mi=m. 那我们可以得到一组解: x=ΣMi*Mi-1(mod m) 接下来我们想办法证明她是唯一的: Mi*Mi-1≡1(mod m

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1319 In 'MonkeyLand', there is a traditional game called "Bamboo Climbing". The rules of the game are as follows: ) There are N monkeys who play this game and there are N bamboos of equal he

扩展欧几里得算法 求逆元就不说了. ax+by=c 这个怎么求,很好推. 设d=gcd(a,b) 满足d|c方程有解,否则无解. 扩展欧几里得求出来的解是 x是 ax+by=gcd(a,b)的解. 对于c的话只需要x*c/gcd(a,b)%(b/d)即可,因为b/d的剩余系更小. 为什么这样呢? 设a'=a/d,b'=b/d 求出a'x+b'y=1的解,两边同时乘d,然后x也是ax+by=d的解, 然后因为b'的剩余系更小,所以%b’ 中国剩余定理是合并线性方程组的 中国余数定理 转化为一个线性

首先请看定义:(百科上抄下来的)孙子定理是中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理. 一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作<孙子算经>卷下第二十六题,叫做"物不知数"问题. 原文如下: 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数.<孙子算经>中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学

原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8109156.html 题目传送门 - BZOJ1951 题意概括 求 GM mod 999911659 M=∑i|nC(n,i) N,G<=109 题解 我们发现999911659是一个素数,设为p. 费马小定理:对于任意正整数a,和素数p,有 ap-1 Ξ 1 (mod p) 由此可得, GM Ξ GM mod (p-1) (mod p) 这个可以用快速幂搞定,现在的问题就是如何计算M 我们研究p-1这个数