我在RSA学习总结的第三部分关于Mille-Rabin素数测试的正确性证明里需要用到此定理,由于证明太长,故另开一章于此.(为啥我说话突然文绉绉了Orz,可能是这周辩论打多了) 结论是对素数p,modulo p的原根存在,个数为与ø(p-1),modulo p2的原根个数为(p-1)ø(p-1)个 对奇素数p,modulo p^n的原根存在,个数为pn-2(p-1)ø(p-1) (n>=3) 首先证明对任意素数p,modulo p的原根存在 以下是证明思路(符号的意思在第二张图,完整证明里有)

python 判断矩阵中每行非零个数的方法: # -*- coding: utf-8 -*- # @Time : 2018/5/17 15:05 # @Author : Sizer # @Site : # @File : test.py # @Software: PyCharm import time import numpy as np # data = np.array([ # [5.0, 3.0, 4.0, 4.0, 0.0], # [3.0, 1.0, 2.0, 3.0, 3.0], #

题目:http://poj.org/problem?id=1284 题意:就是求一个奇素数有多少个原根 分析: 使得方程a^x=1(mod m)成立的最小正整数x是φ(m),则称a是m的一个原根 然后有这样的定理: 1.所有奇素数都有原根 2.如果一个数n有原根,那么原根个数为φ(φ(n)) 由性质2就可知道,对于此题的奇素数n,结果就是φ(n-1)

题目描述 在ACM_DIY群中,有一位叫做“傻崽”的同学由于在数论方面造诣很高,被称为数轮之神!对于任何数论问题,他都能瞬间秒杀!一天他在群里面问了一个神题: 对于给定的3个非负整数 A,B,K 求出满足 (1) X^A = B(mod 2*K + 1) (2) X 在范围[0, 2K] 内的X的个数!自然数论之神是可以瞬间秒杀此题的,那么你呢? 输入 第一行有一个正整数T,表示接下来的数据的组数( T <= 1000) 之后对于每组数据,给出了3个整数A,B,K (1 <= A, B <

题目描述 求长度为 $n$ 的序列,每个数都是 $|S|$ 中的某一个,所有数的乘积模 $m$ 等于 $x$ 的序列数目模1004535809的值. 输入 一行,四个整数,N.M.x.|S|,其中|S|为集合S中元素个数. 第二行,|S|个整数,表示集合S中的所有元素. 1<=N<=10^9,3<=M<=8000,M为质数 1<=x<=M-1,输入数据保证集合S中元素不重复 输出 一行,一个整数,表示你求出的种类数mod 1004535809的值. 样例输入 4 3 1

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2219 弄了一个晚上加一个午休再加下午一个钟..终于ac..TAT 数论渣渣求轻虐!! 题意:求解 x^A=B(mod n) 在0~n内解的个数.其中1 <= A, B <= 10^9, 1 <= K <= 5 * 10^8  (n=2*K+1) 首先先说这一题的弱化版:bzoj1319 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1

一開始看题的时候第一想法就是暴力,可是无奈数据量有点大,看了题解之后才知道原来牵扯到数论上的一个叫做原根的东西,这个题的题意就是,给你一个奇素数,问题他的原根有多少.依据初等数论上所说,此时牵扯到了三个定理. 1)全部的单素数都是有原根的 2)一个数n有原根,那么他有phi(phi(n))个模n不同余的原根(n是否素数都可用) 3)一个素数有原根.则有phi(n-1)个原根 当中3是由1,2简单推得,那么之后这道题就非常easy了. #include <cstdio> #include <

题目: 洛谷3321 分析: 一个转化思路比较神(典型?)的题-- 一个比较显然的\(O(n^3)\)暴力是用\(f[i][j]\)表示选了\(i\)个数,当前积在模\(m\)意义下为\(j\)的方案数,每次转移枚举\(S\)的元素,即(\(k^{-1}\)表示\(k\)在模\(m\)意义下的逆元): \[f[i][j]=\sum_{k\in S} f[i-1][jk^{-1}]\] 事实上写的时候通常是从\(f[i][j]\)往\(f[i+1][jk]\)贡献 然后通过Orz题解发现那个乘法\

原根&离散对数 1.原根 1.定义: 定义\(Ord_m(a)\)为使得\(a^d\equiv1\;(mod\;m)\)成立的最小的d(其中a和m互质) 由欧拉定理可知: \(Ord\le\Phi(m)\) 当\(Ord_m(a)=\Phi(m)时,称a是模m意义下m的一个原根\)(记住原根是a,不是d!) 2.原根的性质: 1.具有原根的数字仅有以下几种形式:\(2,4,p^n,2·p^n\)(p是奇质数) 2.一个数的最小原根的大小不超过 \(m^{\frac14}\) 3.若g是m的一个原

定义: 设m>1,gcd(a,m)=1,使得成立的最小正整数d为a对模m的阶,记为δm(a) 如果δm(a)=φ(m),则称a是模m的原根 定理:设m>1,gcd(a,m)=1,那么正整数x是同于方程的一个根当且仅当δm(a) | x 定理:由欧拉定理得  gcd(a,n)=1 定理:模m有原根的充要条件是m=2,4,,其中p为奇质数,n为任意正整数 定理:素数必有原根,如果一个数n有原根那么他有φ(φ(n))个模n不同余的原根 求模素数p的原根的方法:对p-1素因子分解,即p-1=的标准分解

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6091 题目大意 给出一个数\(p\),求出它的所有在\([0,p]\)的原根. 解题思路 原根的定义,\(\delta_p(a)\)表示一个最小的\(n\)使得\(a^n\equiv1(mod\ p)\),若\(gcd(a,p)=1\)且\(\delta_p(a)=\varphi(p)\)则\(a\)为\(p\)的一个原根. 两个个结论就是一个数有原根当且仅当它为\(2,4,p^a,2p^a\)(其中\(p\

1.文件类型类似于这样: 不过数据量比这个要更大一点. 2.对应上述数据的运行结果: import matplotlib.pyplot as plt with open('test.txt') as fob: lines=fob.readlines() #去除掉每行最后一个换行符,就可以正确统计了,我也真不知道是为什么 for i in range(len(lines)): lines[i]=lines[i].rstrip() #在这里要创建一个长度的list进行统计 #但是这个地方的lines

注意 由于蒟蒻实在太弱了~^_^~暂时无法完成证明,仅能写出简单版总结 与FFT的区别 \(NTT\)与\(FFT\)的代码区别就是把单位根换成了原根,从而实现无精度误差与浮点数的巨大常数 原根具有单位根的所有特点,原根是在特定模数下的定义 对于模数\(p\),原根\(g\)满足:\(~_{i=0}^{p-1}g^i (mod~p)\)均不同 用\(type=1,g^{\frac{p-1}{2*mid}}:type=-1,\dfrac{1}{g^{\frac{p-1}{2*mid}}}\)代替单

题目链接 大题流程: 判定是否有原根->求出最小原根->利用最小原根找出全部原根 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; ; ]; ]; ]; int num_prime; void init() { memset(check, false, sizeof(check)); phi[]=; ; i<=maxn; i++) { if(!check[i]) { prime[num_pri

""" 给定一个以下字符串:统计大写字母的个数,小写字母的个数,非字母的个数. str1 = "ajdkkKDKEK1343KFKiriromfkfKKRIOWJF0928398jjee11djdDJJRH" """ str1 = "ajdkkKDKEK1343KFKiriromfkfKKRIOWJF0928398jjee11djdDJJRH" big_num = 0 # 记录大写字母个数 small_nu

LINK:原根 再复习一下原根 防止考场上要NTT求原根的时候不会求... 这道题要求求出n之内的所有原根 根据原根的定义. 原根指 若x对于模n的阶为phi(n)且\(1\leq x\leq n\) 那么称x为n的原根. 暴力做法枚举x 枚举phi(n)的因数 看其是否同余1. 复杂度nsqrt(n)左右. 考虑更快的做法 (去年省选骗分过样例也用了这个做法 考虑求出最小的原根g(暴力,但是很快. 对于剩下的原根都可以表示成g^k,条件为(k,phi(n))==1.(显然. 于是就做完了.值得

问题 从键盘输入一个字符串(长度不超过30),统计字符串中非数字的个数,并将统计的结果显示在屏幕上,用EXE格式实现. 源程序 data segment hintinput db "please input a string:$";输入提示语 hintoutput db "non-number:$";输出提示语 str db 30,?,30 dup(?);将输入的字符串保存在str中 crlf db 0ah,0dh,'$';回车换行符 data ends code

(1)从键盘输入一个字符串(串长不大于80). (2)以十进制输出字符串中非字母字符的个数(不是a to z或 A to Z). (3)输出原字符串且令非字母字符闪烁显示. (4)找出字符串中ASCII码值最大的字符,在字符串中用红色显示. (5)字符串的输入和结果的输出都要有必要的提示,且提示独占一行. (6)要使用到子程序. data segment hintinput db "please input a string:$" hintoutput1 db "The nu

目录 信号, 集合, 多项式, 以及卷积性变换 卷积 卷积性变换 傅里叶变换与信号 引入: 信号分析 变换的基础: 复数 傅里叶变换 离散傅里叶变换 FFT 与多项式 \(n\) 次单位复根 消去引理, 折半引理与求和引理 重新定义 多项式的表示 快速傅里叶变换FFT 通过 FFT 在单位复数根处插值 FFT的速度优化与迭代实现 炸精现场与 NTT 原根 NTT 任意模数 NTT 卷积状物体与分治 FFT FWT 与位运算卷积 FWT 与 \(\text{or}\) 卷积 FWT 与 \(\te

目录 语法 c++ java 动态规划 多重背包 最长不下降子序列 计算几何 向量(结构体) 平面集合基本操作 二维凸包 旋转卡壳 最大空矩形 | 扫描法 平面最近点对 | 分治 最小圆覆盖 | 随机增量法 三维向量(结构体) 三维凸包 几何杂项 数据结构 ST表 单调队列 树状数组 线段树 并查集 左偏树 珂朵莉树,老司机树 莫队 二叉搜索树 一些建议 图论 图论的一些概念 图论基础 最短路径 最小生成树 树论的一些概念 最近公共祖先 联通性相关 图上的NP-hard问题 弦图+区间图 | 最

http://poj.org/problem?id=1284 题意:求一个素数p的原根个数.(p<=65535) #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #include <iostream> using namespace std; const int lim=65535, N=70005; int p[N], pcnt, np[