这个问题似乎有很多种求法,但感觉上第二类Strling数的做法是最方便的. 问题 求下面这个式子: ∑i=0nik\sum_{i=0}^n i^ki=0∑n​ik nnn的范围可以很大. 第二类Strling数 第二类Strling数记作S(n,m)S(n,m)S(n,m).SnmS_n^mSnm​. 定义:将nnn个相同的球放在mmm个不同的箱子里的方案数(其中的每一个箱子至少有一个球). 很容易推出一个式子:Snm=Sn−1m−1+mSn−1mS_n^m=S_{n-1}^{m-1}+mS_{

Description 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: $$f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)\times 2^j\times(j!)$$ $S(i,j)$表示第二类斯特林数,递推公式为:$S(i,j)=j\times S(i-1,j)+S(i-1,j-1),1\leq j\leq i-1$.边界条件为:$S(i,i)=1(0\leq i),S(i,0)=0(1\leq i)$你能帮帮他吗? Inp

传送门 对于每一个元素,我们只要能求出它的出现次数\(sum\),那么每个元素的贡献都是一样的,最终的答案为\(sum\times \sum_{i=1}^n w_i\) 那么分别讨论 如果这个元素自己单独一个集合,那么方案数为\(S(n-1,k-1)\)(这个\(S\)是第二类斯特林树),也就是讨论其它的\(n-1\)个怎么放,每一种方案的贡献都是\(1\),所以这一部分的贡献就是\(S(n-1,k-1)\) 如果这个元素和其它元素一起放在一个集合里,那么剩下\(n-1\)个元素放的方案数为\(

传送门 首先,题目所求为\[n\times 2^{C_{n-1}^2}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 即对于每个点\(i\),枚举它的度数,然后计算方案.因为有\(n\)个点,且关于某个点连边的时候剩下的边都可以随便连,所以有前面的两个常数 所以真正要计算的是\[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 根据第二类斯特林数的性质,有\[i^k=\sum_{j=0}^iS(k,j)\times j!\times C_i^j\] 然后带入,得\[\s

传送门 首先,因为在\(j>i\)的时候有\(S(i,j)=0\),所以原式可以写成\[Ans=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)\times 2^j\times j!\] \[Ans=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\sum_{i=0}^nS(i,j)\] 根据第二类斯特林数的通项公式代入,有\[Ans=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}

[BZOJ4555]求和(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 推推柿子 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nj!·2^j(\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k·C_j^k·(j-k)^i)\] \[=\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k

传送门:CF原网 洛谷 题意:给定 $n,k$,求 $\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}i^k\bmod(10^9+7)$. $1\le n\le 10^9,1\le k\le 5000$. 很水的一道题. 根据第二类斯特林数的性质: $$n^k=\sum^k_{i=1}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!\dbinom{n}{i}$$ 那么直接套进去: $$\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}\sum^k

https://vjudge.net/problem/HDU-4625 题意 给出一颗树,边权为1,对于每个结点u,求sigma(dist(u,v)^k). 分析 贴个官方题解 n^k并不好转移,于是用第二类斯特林数转化一下,这样可以预处理第二类斯特林数,而sigma(C(dist(u,v),i))则利用C(n,x)=C(n-1,x)+C(n-1,x-1)来进行树DP转移得到. 设dp[u][k]=sigma(C(dist(u,v),k)),则dp[u][k]=dp[v][k]+dp[v][k-

[CF961G]Partitions 题意:给出n个物品,每个物品有一个权值$w_i$,定义一个集合$S$的权值为$W(S)=|S|\sum\limits_{x\in S} w_x$,定义一个划分的权值为$V(R)=\sum\limits_{S\in R} W(S)$.求将n个物品划分成k个集合的所有方案的权值和. $n,k\le 2\cdot 10^5,w_i\le 10^9$ 题解:第二类斯特林数针是太好用辣! 显然每个物品都是独立的,所以我们只需要处理出每个物品被统计的次数即可,说白了就是

[CF932E]Team Work(第二类斯特林数) 题面 洛谷 CF 求\(\sum_{i=1}^nC_{n}^i*i^k\) 题解 寒假的时候被带飞,这题被带着写了一遍.事实上并不难,我们来颓柿子. 首先回忆一下第二类斯特林数关于整数幂的计算公式: \[m^n=\sum_{i=0}^mC_{m}^i*S(n,i)*i!\] \(m^n\)理解为把\(n\)个不同的球放到\(m\)个不同的盒子中去.那么我们枚举有几个盒子非空,用第二类斯特林数乘阶乘计算放置的方案数,最后求和就是结果. 那么直接

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1

[CF961G]Partitions(第二类斯特林数) 题面 CodeForces 洛谷 题解 考虑每个数的贡献,显然每个数前面贡献的系数都是一样的. 枚举当前数所在的集合大小,所以前面的系数\(p\)就是: \[\begin{aligned} p&=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}i\begin{Bmatrix}n-i\\k-1\end{Bmatrix}\\ &=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}i\frac{1}{(k-1)!}\sum_{

[BZOJ2159]Crash的文明世界(第二类斯特林数,动态规划) 题面 BZOJ 洛谷 题解 看到\(k\)次方的式子就可以往二项式的展开上面考,但是显然这样子的复杂度会有一个\(O(k^2)\),因此需要换别的方法. 注意到自然指数幂和第二林斯特林数之间的关系: \[n^k=\sum_{i=0}^k \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}{n\choose i}i!\] 那么将答案式化简 \[\begin{aligned} Ans_x&=\sum_{i=1}^N

Rank Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 433    Accepted Submission(s): 207 Problem Description Recently in Teddy's hometown there is a competition named "Cow Year Blow Cow".N c

题目链接 BZOJ5093 题解 点之间是没有区别的,所以我们可以计算出一个点的所有贡献,然后乘上\(n\) 一个点可能向剩余的\(n - 1\)个点连边,那么就有 \[ans = 2^{{n - 1 \choose 2}}n \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {n - 1 \choose i} i^k\] 显然要求 \[\sum\limits_{i = 0}^{n} {n \choose i} i^k\] 然后我就不知道怎么做了.. 翻翻题解 有这样一个结论: \[n^k

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4045 Machine schedulingTime Limit: 5000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1933 Accepted Submission(s): 711 Problem DescriptionA Baidu’s engineer needs to anal

link \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathrm{sgcd}(i,j)^k=\sum_{p=1}^ns(p)^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=p]=\sum_{p=1}^ns(p)^k(-1+2\sum_{i=1}^{n/p}\varphi(i))\) 由于 \(n\) 的范围是 \(10^9\) ,对于后面的我们最多只有根号种取值,根据套路,可以杜教筛/Min_25筛一波. 至于前面的东西,我们可以考虑Min_25筛的过程:

出处0.0用到第二类斯特林数的性质,做法好像很多,我打的是直接ntt,由第二类斯特林数的容斥公式可以推出,我们可以对于每一个i,来一次ntt求出他与所有j组成的第二类斯特林数的值,这个时候我们是O(n^2logn)的,还不如暴力,但是我们发现,对于刚刚提到的容斥的式子,将其化为卷积形式后,其一边的每一项对于每一个i都相同,另一边的每一项是对于所有的i形成一个n项的等比数列,这样我们可以把成等比数列的一边求和,用固定的一边去卷他们的和,这时候的答案的每一项就是所有的i的这一项的和,然后我们再O(n

题目 CF932E Team Work 前置:斯特林数\(\Longrightarrow\)点这里 做法 \[\begin{aligned}\\ &\sum\limits_{i=1}^n C_n^ii^k\\ &\sum\limits_{i=1}^n C_n^i\sum\limits_{j=0}^iC_i^j\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\\ &\sum\limits_{i=1}^n \frac{n!}{(n-i)!}\sum\limits_{

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2159 学习材料:https://blog.csdn.net/litble/article/details/80882581 https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Stirling-Number.html https://blog.csdn.net/qq_