PCA最小平方误差理论推导 PCA求解其实是寻找最佳投影方向,即多个方向的标准正交基构成一个超平面. 理论思想:在高维空间中,我们实际上是要找到一个d维超平面,使得数据点到这个超平面的距离平方和最小 假设\(x_k\)表示p维空间的k个点,\(z_k\)表示\(x_k\)在超平面D上的投影向量,\(W = {w_1,w_2,...,w_d}\)为D维空间的标准正交基,即PCA最小平方误差理论转换为如下优化问题\[z_k = \sum_{i=1}^d (w_i^T x_k)w_i---(1)\]

K-means的缺点(优化不仅仅是最小化误差) #转载时,请注明英文原作David Robinson,译者Ding Chao.# 我最近遇到一个交叉验证的问题,我认为这个给我提供了一个很好的机会去用“R”和“ggplot2”探索下K-means算法的一些基本假设. K-means方法广泛用于聚类分析.可是在我看来,这个算法不需要任何假设啊,也就是说,给我一个数据集和一个预先指定的聚类数目k,然后我就可以应用这个算法去最小化SSE(误差平方和)就行了嘛. 恩..所以K-means本质上是一个优化问

PCA算法另外一种理解角度是:最小化点到投影后点的距离平方和. 假设我们有m个样本点,且都位于n维空间 中,而我们要把原n维空间中的样本点投影到k维子空间W中去(k<n),并使得这m个点到投影点的距离(即投影误差)的平方和最小.我们假设投影到的k维子空间的标准正交基(orthonormal basis)为 ,这组标准正交基组成了一个的矩阵U: 则称为子空间W 的投影矩阵(projection matrix). 如果我们不从标准正交基出发,如何求得W的投影矩阵?设是W 的任意一组基,形成一个的矩阵

主讲人 戴玮 (新浪微博: @戴玮_CASIA) Wilbur_中博(1954123) 20:00:49 我今天讲PRML的第十二章,连续隐变量.既然有连续隐变量,一定也有离散隐变量,那么离散隐变量是什么?我们可能还记得之前尼采兄讲过的9.2节的高斯混合模型.它有一个K维二值隐变量z,不仅只能取0-1两个值,而且K维中只能有1维为1.其他维必须为0,表示我们观察到的x属于K类中的哪一类.显然,这里的隐变量z就是个离散隐变量.不过我们容易想到,隐变量未必像kmeans或GMM这种聚类算法那样,非此

读书会成立属于偶然,一次群里无聊到极点,有人说Pattern Recognition And Machine Learning这本书不错,加之有好友之前推荐过,便发了封群邮件组织这个读书会,采用轮流讲课的方式,如果任务能分配下去就把读书会当作群员的福利开始进行,分配不下去就算了.后来我的几位好友:网神兄.戴玮博士.张巍博士.planktonli老师.常象宇博士纷纷出来支持这个读书会.待任务分配完,设置好主持人和机动队员,我认为就不需要再参与了,但进行不久,也充当机动队员讲了第二.六.九.十一章,

转自http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/18/2020209.html http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/18/2020216.html 几个特别有用 的链接: 更加深入理解pca,在斯坦福大学的机器学习上的更加深入的分析.. http://blog.csdn.net/ybdesire/article/details/64546435 http://blog.csdn.n

目录 PCA思想 问题形式化表述 PCA之协方差矩阵 协方差定义 矩阵-特征值 PCA运算步骤 PCA理论解释 最大方差理论 性质 参数k的选取 数据重建 主观理解 应用 代码示例 PCA思想 PCA主要用于数据降维,是一种无监督学习方法.主成分分析利用正交变换将可能存在相关性的原始属性转换成一组线性无关的新属性,并通过选择重要的新属性实现降维.由一系列特征组成的多维向量,其中某些元素本身没有区分性,比如某个元素在所有样本中都相等,或者彼此差距不大,那么那个元素对于区分的贡献度小.我们的目的即为

提要: 本文主要介绍了和推导了LDA和PCA,参考了这篇博客 LDA LDA的原理是,将带上标签的数据(点),通过投影的方法,投影到维度更低的空间中,使得投影后的点,会形成按类别区分,一簇一簇的情况,相同类别的点,将会在投影后的空间中更接近.要说明白LDA,首先得弄明白线性分类器(Linear Classifier):因为LDA是一种线性分类器.对于K-分类的一个分类问题,会有K个线性函数: PS 上面一大段话完全可以不看,看不懂也完全没有关系,你只要知道不同类的x,经过上面那个式子算出y(x和

本博客根据 百面机器学习,算法工程师带你去面试 一书总结归纳,公式都是出自该书. 本博客仅为个人总结学习,非商业用途,侵删. 网址 http://www.ptpress.com.cn 目录: PCA最大方差理论 PCA最小平方误差理论 在机器学习中, 数据通常需要被表示成向量形式以输入模型进行训练. 但是在对向维向量进行处理和分析时, 会极大地消耗系统资源, 甚至产生维度灾难. 因此, 对特征向量进行降维, 即用一个低维度的向量表示原始高维度的特征就显得尤为重要. PCA(Principal C

降维是机器学习中十分重要的部分,降维就是通过一个特定的映射(可以是线性的或非线性的)将高维数据转换为低维数据,从而达到一些特定的效果,所以降维算法最重要的就是找到这一个映射.主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)是一种最经典,也是最简单的降维算法.PCA可以保证降维之后,重构回原数据的效果最好,因此广泛用于对高维数据的预处理. 1. 一个投影的PCA求解 设样本矩阵为\(X=[x_1,x_2,\cdots,x_n]\in \mathbb R^{m\tim

理论 仅仅使用基本的线性代数知识,就可以推导出一种简单的机器学习算法,主成分分析(Principal Components Analysis, PCA). 假设有 $m$ 个点的集合:$\left\{\boldsymbol{x}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{x}^{(m)}\right\}$ in $\mathbb{R}^{n}$,我们希望对这些点进行有损压缩(lossy compression).有损压缩是指,失去一些精度作为代价,用更少的存储空间来存储这些点.我们当

问题 1. 比如拿到一个汽车的样本,里面既有以“千米/每小时”度量的最大速度特征,也有“英里/小时”的最大速度特征,显然这两个特征有一个多余. 2. 拿到一个数学系的本科生期末考试成绩单,里面有三列,一列是对数学的兴趣程度,一列是复习时间,还有一列是考试成绩.我们知道要学好数学,需要有浓厚的兴趣,所以第二项与第一项强相关,第三项和第二项也是强相关.那是不是可以合并第一项和第二项呢? 3. 拿到一个样本,特征非常多,而样例特别少,这样用回归去直接拟合非常困难,容易过度拟合.比如北京的房价:假设房子

主成分分析(Principal components analysis)-最大方差解释 在这一篇之前的内容是<Factor Analysis>,由于非常理论,打算学完整个课程后再写.在写这篇之前,我阅读了PCA.SVD和LDA.这几个模型相近,却都有自己的特点.本篇打算先介绍PCA,至于他们之间的关系,只能是边学边体会了.PCA以前也叫做Principal factor analysis. 1. 问题 真实的训练数据总是存在各种各样的问题: 1. 比如拿到一个汽车的样本,里面既有以"

1. 动机一:数据压缩 第二种类型的 无监督学习问题,称为 降维.有几个不同的的原因使你可能想要做降维.一是数据压缩,数据压缩不仅允许我们压缩数据,因而使用较少的计算机内存或磁盘空间,但它也让我们加快我们的学习算法. 但首先,让我们谈论 降维是什么.作为一种生动的例子,我们收集的数据集,有许多,许多特征,我绘制两个在这里. 将数据从二维降一维: 将数据从三维降至二维: 这个例子中我们要将一个三维的特征向量降至一个二维的特征向量.过程是与上面类似的,我们将三维向量投射到一个二维的平面上,强迫使得所

转自http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/18/2020209.html http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/18/2020216.html 几个特别有用 的链接: 更加深入理解pca,在斯坦福大学的机器学习上的更加深入的分析.. http://blog.csdn.net/ybdesire/article/details/64546435 http://blog.csdn.n

对于PCA,一直都是有个概念,没有实际使用过,今天终于实际使用了一把,发现PCA还是挺神奇的. 在OPENCV中使用PCA非常简单,只要几条语句就可以了. 1.初始化数据 //每一行表示一个样本 CvMat* pData = cvCreateMat( 总的样本数, 每个样本的维数, CV_32FC1 ); CvMat* pMean = cvCreateMat(1, 样本的维数, CV_32FC1); //pEigVals中的每个数表示一个特征值 CvMat* pEigVals = cvCreat

理论參考文献:但此文没有代码实现.这里自己实现一下,让理解更为深刻 问题:如果在IR中我们建立的文档-词项矩阵中,有两个词项为"learn"和"study",在传统的向量空间模型中,觉得两者独立. 然而从语义的角度来讲.两者是相似的.并且两者出现频率也类似,是不是能够合成为一个特征呢? <模型选择和规则化>谈到的特征选择的问题.就是要剔除的特征主要是和类标签无关的特征.比方"学生的名字"就和他的"成绩"无关,使用的

PCA(主成分分析法) 1. PCA(最大化方差定义或者最小化投影误差定义)是一种无监督算法,也就是我们不需要标签也能对数据做降维,这就使得其应用范围更加广泛了.那么PCA的核心思想是什么呢? 例如D维变量构成的数据集,PCA的目标是将数据投影到维度为K的子空间中,要求K<D且最大化投影数据的方差.这里的K值既可以指定,也可以利用主成分的信息来确定. PCA其实就是方差与协方差的运用. 降维的优化目标:将一组 N 维向量降为 K 维,其目标是选择 K 个单位正交基,使得原始数据变换到这组基上后,

本文仅就PCA原理及应用作一简单总结, 具体的数学原理等考试后再补上. 1. PCA推导 目标 对于正交空间中的样本点,现想将其投影到一个低维超平面中使得所有样本可在该平面中得到恰当的表达. 什么叫恰当的表达? 最近重构性:样本点到该超平面的距离都足够近(距离最小). 最大可分性:样本点到该超平面上的投影尽可能分开(方差最大, 协方差为0) 可以证明,上面两个表述可推出等价的投影矩阵. 基于最近重构性的PCA推导 假设样本已中心化\(\sum x_i=0\),设新坐标系为\(W=\{w_1,w_

主成分分析 线性.非监督.全局的降维算法 PCA最大方差理论 出发点:在信号处理领域,信号具有较大方差,噪声具有较小方差 目标:最大化投影方差,让数据在主投影方向上方差最大 PCA的求解方法: 对样本数据进行中心化处理 求样本协方差矩阵 对协方差矩阵进行特征分解,将特征值从大到小排列 取特征值前d大对应的特征向量\(w_1, w_2, \cdots, w_d\),通过以下变换将n维样本映射到d维 \[x^{'}_i = \begin{bmatrix} w_1^{T}x_i \\ w_2^Tx_i