前言 啊摸鱼真爽哈哈哈哈哈哈 这个假期努力多更几篇( 理解本算法需对一些< 常 用 >数学概念比较清楚,如复数.虚数.三角函数等(不会的自己查去(其实就是懒得写了(￢︿̫̿￢☆) 整理了一点点资料(确信 本文仅为作者的总结与完善和本人的理解与观点,有任何误导性错误请多多指出 [WARNING]文笔极差,文章极度啰嗦且可能有些迷惑hhh,尽力了_(:з)∠)_ 概述(可略过 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,缩写为 DFT),是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散

1. 复数和单位根 前置知识:弧度制,三角函数. 1.1 复数的引入 跳出实数域 \(\mathbb R\),我们定义 \(i ^ 2 = -1\),即 \(i = \sqrt {-1}\),并在此基础上定义 复数 \(a + bi\),其中将 \(b\neq 0\) 的称为 虚数.复数域记为 \(\mathbb C\). 像这种从 \(a\) 变成 \(a + bx\) 的 扩域 操作并不少见,例如初中学习 "平方根" 时,经常用 \(a + b\sqrt x(x > 0)\)

前言 如果我们能用一种时间上比 \(O(n^2)\) 更优秀的方法来计算大整数(函数)的乘法,那就好了.快速傅里叶变换(FFT) 可以帮我们在 \(O(n\log n)\) 的时间内解决问题. 函数乘积 计算两个大整数之积时,我们发现 \[(2x+3)(4x+5)=8x^2+22x+15\quad...(*)\\ 23\times45=1035\] 而如果我们把 \((*)\) 式右边的每一位的系数看做一个数每位上的数码,正好得到了 \(1035\).事实上,对于所有的多项式乘法,以上规律同样成

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/例题与常用套路[入门] 前置技能 对复数以及复平面有一定的了解 对数论要求了解:逆元,原根,中国剩余定理 对分治有充足的认识 对多项式有一定的认识,并会写 $O(n^2)$ 的高精度乘法 本文概要 多项式定义及基本卷积形式 $Karatsuba$ 乘法 多项式的系数表示与点值表示,以及拉格朗日插值法

- 概念引入 - 点值表示 对于一个$n - 1$次多项式$A(x)$,可以通过确定$n$个点与值(即$x$和$y$)来表示这唯一的$A(x)$ - 复数 对于一元二次方程 $$x^2 + 1 = 0$$ 在实数范围内无解,那么我们将实数范围扩充,就得到了复数,再令$i$为该方程的解,即 $$i^2 = - 1$$ 那么就定义$z = a + bi$的数为复数,则有 当$b = 0$时,$z$为实数 当$b \neq 0$时,$z$为虚数 当$a = 0 \ \&\& \ b \neq 0

在项目中,需要画波形频谱图,因此进行查找,不是很懂相关知识,下列代码主要是针对这篇文章. http://blog.csdn.net/xcgspring/article/details/4749075 //快速傅里叶变换 /* 入口参数: inv: =1,傅里叶变换; =-1,逆傅里叶变换 N:输入的点数,为偶数,一般为2的幂次级,2,4,8,16... k: 满足N=2^k(k>0),实质上k是N个采样数据可以分解为偶次幂和奇次幂的次数 real[]: inv=1时,存放N个采样数据的实部,in

目录 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 必备芝士 点值表示 复数 傅立叶正变换 傅里叶逆变换 FFT 的代码实现 还会有的 NTT 和三模数 NTT... 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 几个星期之后,继 扩展欧拉定理 之后, \(lj\) 大佬又给我们来了一发数论... 虽然听得心态爆炸, 但是还好的是没有 \(ymx\) 大佬的飞机开得好... 至少我还没有坐飞机... 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 首先,你需要知道 矩阵乘法 的相关知识. 通过

什么是FFT FFT是用来快速计算两个多项式相乘的一种算法. 如果我们暴力计算两个多项式相乘,复杂度必然是\(O(n^2)\)的,而FFT可以将复杂度降至\(O(nlogn)\) 如何FFT 要学习FFT,我们得先了解它的思想. 首先,我们得先了解如何表示一个多项式.显然,我们最传统的方法表示多项式就是表示它的系数就好.但是,如果我们用系数来计算两个多项式相乘,复杂度无论如何都是\(O(n^2)\)的.因此,我们引入点值表示法. 补充资料:什么是点值表示 设A(x)是一个n−1次多项式,那么把n

一.引入 首先,定义多项式的形式为 \(f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\),其中 \(a_i\) 为系数,\(n\) 为次数,这种表示方法称为"系数表示法",一个多项式是由其系数确定的. 可以证明,\(n+1\) 个点可以唯一确定一个 \(n\) 次多项式.对于 \(f(x)\),代入 \(n+1\) 个不同的 \(x\),得到 \(n+1\) 个不同的 \(y\).一个 \(n\) 次的多项式就可以等价地换成 \(n+1\) 个等式,相当于平面上的 \(n+1\)

问题描述 离散傅立叶变换在信号处理中扮演者重要的角色.利用傅立叶变换,可以实现信号在时域和频域之间的转换. 对于一个给定的长度为n=2m (m为整数) 的复数序列X0, X1, …, Xn-1,离散傅立叶变换将得到另一个长度为n的复数序列Y0, Y1, …, Yn-1.其中 Yi=X0+X1wi+ X2w2i+ X3w3i+…+ Xn-1w(n-1)i 其中w=e2πI/n=cos(2π/n)+I sin(2π/n),称为旋转因子,其中I为虚数单位,I2= –1. 给定输入序列X,请输出傅立叶变

快速傅里叶变换 & 快速数论变换 [update 3.29.2017] 前言 2月10日初学,记得那时好像是正月十五放假那一天 当时写了手写版的笔记 过去近50天差不多忘光了,于是复习一下,具体请看手写版笔记 参考文献:picks miskcoo menci 阮一峰 Fast Fourier Transform 单位复数根 虚数 复数 \(i\),表示逆时针旋转90度 \(a+bi\),对应复平面上的向量 复数加法 同向量 复数乘法 "模长相乘,幅角相加",\((a+bi)*(

FFT即快速傅里叶变换,离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法.在OI中用来优化多项式乘法. 本文主要目的是便于自己整理.复习 FFT的算法思路 已知两个多项式的系数表达式,要求其卷积的系数表达式. 先将两个多项式分别转化为点值表达式,完成点值表达式的乘法,然后转为系数表达式得到结果. 点值表达式的乘法.整体考虑:假设已知两个多项式$A(x)$和$B(x)$.如果已知当$x=x_0$时$A(x_0)$和$B(x_0)$,则其乘积一定有点值$A(x_0)*B(x_0)$.因此点值表达式的乘法复杂度$O

目录 FFT 系数表示法 点值表示法 复数 DFT(离散傅里叶变换) 单位根的性质 FFT(快速傅里叶变换) IFFT(快速傅里叶逆变换) NTT 阶 原根 扩展知识 FFT 参考blog: 十分简明易懂的FFT(快速傅里叶变换) 快速傅里叶变换(FFT)详解 (下面的图片是来自于这2篇博客里面的,仔细看可以发现右下角有水印--) 系数表示法 一个一元\(n\)次多项式\(f(x)\)可以被表示为:\[f(x) = \sum_{i = 0}^{n}a_{i}x^{i}\] 即用\(i\)次项的系

声明:本FFT是针对OI的.专业人员请出门左拐. Ⅰ前言 很久以前,我打算学习FFT. 然而,算法导论讲的很详细,却看不懂.网上博客更别说了,什么频率之类的都来了.我暗自下了决心:写一篇人看得懂的FFT 今天讲了FFT,我对这精(xuan)妙(xue)的算法有了初步的认识.我想,我如愿以偿了. 由于此算法不好理解的主要原因是涉及大量数学知识,所以我会尽量讲的浅显一点,以会写代码为目的.部分高超的证明会略去. Ⅱ算法简介 快速傅里叶变换,FFT(Fast-Fast TLE,Fast Fourier

最近做一个东西,要用到快速傅里叶变换,抱着蛋疼的心态,自己尝试写了一下,遇到一些问题. 首先看一下什么叫做快速傅里叶变换(FFT)(来自Wiki): 快速傅里叶变换(英语:Fast Fourier Transform, FFT),是离散傅里叶变换的快速算法,也可用于计算离散傅里叶变换的逆变换.快速傅里叶变换有广泛的应用,如数字信号处理.计算大整数乘法.求解偏微分方程等等. 对于复数串行,离散傅里叶变换公式为: 直接变换的计算复杂度是O(n^2).快速傅里叶变换可以计算出与直接计算相同的结果,但只

FFT(快速傅里叶变换) 前置知识 \(1.复数\) \(2.单位根\) \(3.循环结构\) \(4.C++\) 1.复数 \(定义:形如a+bi的数,其中i^2=-1\) \(计算:1.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\) \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\) \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\) \(向量表示法\) \(用

快速傅里叶变换(FFT)                                                                               ---- LLppdd 前言 关于这篇文章     非常高兴能有机会来探讨快速傅里叶变换,也就是大家熟知的 \(FFT\) 在 \(OI\) 中的运用.以前了解过一次 \(FFT\) ,现在过了几个月,数学和 \(OI\) 水平都有了一定的进步之后,再回过来重新思考它,应该有了更深的了解,所以准备写一篇较为详细的文章

https://blog.csdn.net/enjoy_pascal/article/details/81478582 FFT前言快速傅里叶变换 (fast Fourier transform),即利用计算机计算离散傅里叶变换(DFT)的高效.快速计算方法的统称,简称FFT.快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的.采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数N越多,FFT算法计算量的节省就越显著. FFT(Fast Fourier

图像的正交变换在数字图像的处理与分析中起着很重要的作用,被广泛应用于图像增强.去噪.压缩编码等众多领域.本文手工实现了二维离散傅里叶变换和二维离散余弦变换算法,并在多个图像样本上进行测试,以探究二者的变换效果. 1. 傅里叶变换 实验原理 对一幅图像进行离散傅里叶变换(DFT),可以得到图像信号的傅里叶频谱.二维 DFT 的变换及逆变换公式如下: DFT 尽管解决了频域离散化的问题,但运算量太大.从公式中可以看到,有两个嵌套的求和符号,显然直接计算的复杂度为 \(O(n^2)\) .为了加快傅里

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面 一些约定 循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题 分治FFT 例题 FFT的弱常数优化 复杂算式中减少FFT次数 例题 利用循环卷积 小范围暴力 例题 快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF