2018-03-11 17:39:22 一.辗转相除法 在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法.辗转相除法首次出现于欧几里得的<几何原本>(第VII卷,命题i和ii)中,而在中国则可以追溯至东汉出现的<九章算术>.辗转相除法基于如下原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数.例如,252和105的最大公约数是21(252 = 21 × 12:105 = 21 × 5):因为252 − 105

我们接着上面的欧几里得算法说 扩展欧几里得算法 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式\(^①\): ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理).扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中. ①:裴蜀定理: 裴蜀定理\((Bezouts identity)\)是代数几何中一个定理,其内容是若设a,b是整数,则存在整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b),(a,b)代表最大公因数,则设a,b是不全为零的整数,则存在整数x,y,使

题目 Description jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了. 有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换.jyy 的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 . jyy 将 K个瓶子交给火星人之后,火星人用它们装一些燃料给 jyy.所有的瓶子都没有刻度,只 在瓶口标注了容量,第i个瓶子的容量为Vi(Vi 为整数,并且满足1<=Vi<=1000000000 ) . 火星人比较吝啬,他们并不会把

2299: [HAOI2011]向量 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 1118  Solved: 488[Submit][Status][Discuss] Description 给你一对数a,b,你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量,问你能不能拼出另一个向量(x,y). 说明:这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)

1441: Min Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 471  Solved: 314[Submit][Status][Discuss] Description 给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1*X1+...An*Xn>0,且S的值最小 Input 第一行给出数字N,代表有N个数下面一行给出N个数 Output S的最小值 Sample Input 24059 -1782 Sample Outpu

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1441 这东西竟然还有个名词叫裴蜀定理................ 裸题不说....<初等数论>上边写得很清楚:如果对于任意d|ai,有d|sum{aixi} 所以求出d就行了...显然gcd.. ls纯属我中二.... 裴蜀定理是:存在$d=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$使得$\sum_{i=1}^{n} a_ix_i$.... 而我上边说的压根就没表示出来........

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1326  Solved: 815[Submit][Status][Discuss] Description jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了. 有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换.jyy 的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 . jyy 将 K个瓶子交给

题目描述 给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1*X1+...An*Xn>0,且S的值最小 输入 第一行给出数字N,代表有N个数 下面一行给出N个数 输出 S的最小值 样例输入 2 4059 -1782 样例输出 99 题解 扩展裴蜀定理 裴蜀定理:二元一次不定方程 $ax+by=c$ 存在整数解的充分必要条件是 $\gcd(a,b)|c$. 扩展裴蜀定理:改成n元一次不定方程,结论依然成立. 证明: $a_1x_1+a_2x_2$ 的取值范围为 $k·\gc

思路 题目已经给出了正解.我们只需要将裴蜀定理推广到若干数的线性组合就可以做这道题了 要注意的是需要在输入的时候取一个绝对值.因为可能会有负数存在.我之前也写过裴蜀定理的证明,要看的话点这里 吐槽 第一次提交gcd写错了('汗 QwQ 代码 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; inline int gc

欧几里得算法 又称辗转相除法 迭代求两数 gcd 的做法 由 (a,b) = (a,ka+b) 的性质:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) int gcd(int a,int b){ if(b==) return a; return gcd(b,a%b); } O(logn) 裴蜀定理: 设 (a,b) = d,则对任意整数 x,y,有 d|(ax+by) 成立: 特别地,一定存在 x,y 满足 ax+by = d 等价的表述:不定方程 ax+by = c(a,b,c 为整数)

裴蜀定理: 对于\(a,b\in N^*, x, y\in Z\),方程\(ax+by=k\)当且仅当\(gcd(a, b)|k\)时有解. 证明: 必要性显然. 充分性:只需证明当\(k=gcd(a, b)\)有解. 设\(s\)为令方程有解的最小\(k\)值,\(gcd(a, b) = d\),首先有\(d|s\). 设$t = \lfloor \frac{a}{s} \rfloor,r = a \bmod s $ 则\(r = a - t * s = a - (ax + by)*t = (

一开始真没想出解法...后来发现那么水.... 2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 970 Solved: 577 [Submit][Status][Discuss] Description jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了. 有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换.jyy 的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料 Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2257 Description jyy就一直想着尽快回地球,可惜他飞船的燃料不够了. 有一天他又去向火星人要燃料,这次火星人答应了,要jyy用飞船上的瓶子来换.jyy的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ,经过协商,火星人只要其中的K 个 . jyy将 K个

https://www.nowcoder.com/acm/contest/160/A 题目描述 有一个计数器,计数器的初始值为0,每次操作你可以把计数器的值加上a1,a2,...,an中的任意一个整数,操作次数不限(可以为0次),问计数器的值对m取模后有几种可能. 输入描述: 第一行两个整数n,m接下来一行n个整数表示a1,a2...an 1≤n≤1001≤m,a1,a2,...,an≤1000000000 输出描述: 输出一个整数表示答案 输入例子: 3 6 6 4 8 输出例子: 3 -->

[BZOJ 2299][HAOI 2011]向量 Description 给你一对数a,b,你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量,问你能不能拼出另一个向量(x,y). 说明:这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y) Input 第一行数组组数t,(t<=50000) 接下来t行每行四个整数a,b,x,y (-2109<=a,b,x,y<=2109) Output t行每行为Y

题意:有编号为0~n-1的n个游戏,每个活动都有一个价值(可为负),给你m,s和k,你可以从任意一个编号开始玩,但是下一个游戏必须是编号为(i + k)%n的游戏,你最多能玩m次游戏,问你如果最后你手里要有s的价值,那么你至少一开始要有多少价值. 思路:由裴蜀定理可以知道,如果有n个值首尾相连,间隔为k地走,那么最后会有一个循环节,这样的循环节一共有gcd(n, k)个,每个循环节长度n / gcd(n, k)个.所以我们只要找出所有循环节,并且把每个循环节的最大价值算出来就行了.对于每个循环节

Description 有 \(n\) 个人围成一个圈,按照顺时针从 \(1\) 到 \(n\) 编号.第 \(1\) 个人会拿到一个球,他指定一个数字 \(k\),然后会将球传给他后面顺指针数第 \(k\) 个人.再次传到 \(1\) 后游戏结束.定义一次游戏的 \(ans\) 为所有拿到球的人的编号之和 (\(1\) 只算一次).求所有可能的 \(ans\),按照升序输出,保证不超过 \(10^5\) 个 Input 一个整数 \(n\) Output 一行多个整数,代表所有可能的 \(an

裴蜀定理的扩展 最后返回的一定是\(k\)个数的\(gcd\) 因此对于每个数暴力分解因子统计即可 #include <map> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define ri register int #define rep(io, st, ed) for(ri io = s

题意:给你一对数a,b,你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量,问你能不能拼出另一个向量(x,y). 实际上前四个向量能拼出(ma,nb)(m%2=n%2).后四个向量拼出(xb,ya)(x%2=y%2). 这样可以枚举这四个未知数在模二意义下的解.这两个向量相加为(ma+xb,nb+ya). 对于ma+xb=X.根据系数的奇偶性,如果有系数为奇数,可使得等式两边都减去一个数使得系数都为偶

题目描述 给出 $n$ 个瓶子和无限的水,每个瓶子有一定的容量.每次你可以将一个瓶子装满水,或将A瓶子内的水倒入B瓶子中直到A倒空或B倒满.$m$ 次操作,每次给 $[l,r]$ 内的瓶子容量增加 $x$ ,或询问使用 $[l,r]$ 内瓶子能够凑出的最小体积. 输入 第一行包括两个数字:瓶子数n,事件数m. 第二行包含n个整数,表示每个瓶子的容量vi. 接下来m行,每行先有三个整数fi li ri. 若fi=1表示询问li到ri他最少能倒腾出的汽油量最少是多少? 若fi=2 再读入一个整数x.