定理: 任何正整数n等于其因数的欧拉函数值之和,即∑d|nφ(d)=n 证明: 设一个集合{1/n,2/n,3/n,...,(n-1)/n,n/n} 对于上述的分式集合,若我们都将其化简至最简形式,设其中一个最简形式是a/b,那么我们一定有: b|n ① (a,b)=1 ② a<=b ③ 由②③可得,对于一个确定的b,它对应的a的个数为φ(b)(根据欧拉函数的定义:φ(n)=1到n中与n互质的数的个数) 那么我们再考虑,每一个最简形式a/b都是互相不同的,因为它们都是最简形式 而且,对于上述分数

欧拉函数 :欧拉函数是数论中很重要的一个函数,欧拉函数是指:对于一个正整数 n ,小于 n 且和 n 互质的正整数(包括 1)的个数,记作 φ(n) . 完全余数集合:定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ,称呼这个集合为 n 的完全余数集合. 显然 |Zn| ＝φ(n) . 有关性质:对于素数 p ,φ(p) = p -1 .对于两个不同素数 p, q ,它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1)  .这是因为 Zn = {1, 2, 3,

随笔 - 20  文章 - 0  评论 - 73 ACM数论之旅7---欧拉函数的证明及代码实现(我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭) https://blog.csdn.net/chen_ze_hua/article/details/53997790 https://blog.csdn.net/qq_40828914/article/details/81775519 欧拉函数,用φ(n)表示 欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目 辣么,怎么求哩?~(-o￣▽￣)-o 可以先在1到n-1

题目 题意:求小于n并且 和n不互质的数的总和. 思路:求小于n并且与n互质的数的和为:n*phi[n]/2 . 若a和n互质,n-a必定也和n互质(a<n).也就是说num必定为偶数.其中互质的数成对存在.其和为n. 公式证明: 反证法:如果存在K!=1使gcd(n,n-i)=k,那么(n-i)%k==0而n%k=0那么必须保证i%k=0k是n的因子,如果i%k=0那么gcd(n,i)=k,矛盾出现; 所以先求出1……n-1 的和, 再用这个和 减去 上面公式求出来的值. 欧拉函数phi(m)

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818 题意:给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 其实就是一个转化问题,求gcd(x, y) = k, 1 <= x, y <= n的对数等于求gcd(x, y) = 1, 1 <= x, y <= n/k的对数.那么接下来我们就只要枚举每个素数k=prime[i]了,然后用到欧拉函数就可以求出来了,Σ( 2*Σ(

题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然数x满足x<n,gcd(x,n)=1等价于gcd(x,y)=1 成立,则该式显然成立,下面证明这个命题. 假设gcd(x,y)=1时,gcd(x,n)=k!=1,则n=n'k,x=x'k,gcd(x,y)=gcd(x,n-x)=gcd(x'k,(n'-x')k)=k,与假设gcd(x,y)=1不符,

中国剩余定理 ——!x^n+y^n=z^n 想必大家都听过同余方程这种玩意,但是可能对于中国剩余定理有诸多不解,作为一个MOer&OIer,在此具体说明. 对于同余方程: x≡c1(mod m1) x≡c2(mod m2) ··· x≡cn (mod mn) [其中任意的两个mi,mj互质] 我们可以构造出一个解: 令m=Πai[0<i<=n],Mi*mi=m. 那我们可以得到一组解: x=ΣMi*Mi-1(mod m) 接下来我们想办法证明她是唯一的: Mi*Mi-1≡1(mod m

题目描述: 题目大意:一个竹竿长度为p,它的score值就是比p长度小且与且与p互质的数字总数,比如9有1,2,4,5,7,8这六个数那它的score就是6.给你T组数据,每组n个学生,每个学生都有一个幸运数字,求出要求买n个竹子每个竹子的score都要大于或等于该学生的幸运数字,每个竹竿长度就是花费,求最小花费. 首先弄清欧拉函数的定义,详见:https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0/1944850?fr

[欧拉函数] 在数论,对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler’s totient function.φ函数.欧拉商数等. 例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质. 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明. [证明]: 设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集,据中国剩余定理,A*B和C可建立一一对应的关系.因此φ(n)的值使用算术基本定理便知, 若 n= ∏p^(α(下标p))p|

                                                10200 - Prime Time 此题极坑(本菜太弱),鉴定完毕,9遍过. 题意:很简单的求一个区间[a,b]内满足i*i+i+41(i>=a&&i<=b,0<=a<=b<=10000.)是素数的数有多个,求出百分比. 思路:直接裸判就行了(竟然不超时),但结果要加上1e-8(are you kidding me?). 下面来说说我怎么跪了,开始也是直接裸判,我

传送门 Longge's problem Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 7327   Accepted: 2416 Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms.

转自:http://blog.csdn.net/dream_you_to_life/article/details/43883367 作者:Sky丶Memory 1.一个数是否为质数的判定. 质数,只有1和其本身才是其约数,所以我们判定一个数是否为质数,只需要判定2~(N - 1)中是否存在其约数即可,此种方法的时间复杂度为O(N),随着N的增加,效率依然很慢.这里有个O()的方法:对于一个合数,其必用一个约数(除1外)小于等于其平方根(可用反证法证明),所以我们只需要判断2-之间的数即可. b

1040 最大公约数之和 给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6时,1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15 看起来很简单对吧,但是n<=1e9,所以暴力是不行的,所以要把公式进行推导. 引用51nod1040最大公约数之和(欧拉函数) 这个自己上手推一下也很好推的,不过没推过公式的可能不太懂. #include<cstdio> #include<cmath> typedef long long l

从费马小定理到欧拉定理 欧拉公式 再到欧拉函数.,. 小结一下欧拉函数吧 对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目(φ(1)=1)----定义 欧拉函数的基本公式其中pi为x的素因子 .公式的推导根据欧拉公式(积性函数的性质)+算术基本定理+phi(p^k)=p^k-p^(k-1)(p为素数) 简单应用 1.hdu 2588 题意:给定N,M求gcd(i,N)>=M的i的个数(1<=i<=N,M<=N) 题解 :  对于每个i因为i<=N 所以g=gcd(N,

题目链接:https://vjudge.net/problem/POJ-1284 题意:给定奇素数p,求x的个数,x为满足{(xi mod p)|1<=i<=p-1}={1,2,...,p-1}. 思路:题目的实质就是问p有多少原根. 下面是百度对原根的解释: 设m是正整数,a是整数,若a模m的阶等于φ(m),则称a为模m的一个原根.(其中φ(m)表示m的欧拉函数) 假设一个数g是P的原根,那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 0<i<P,归根到底就

题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然数x满足x<n,gcd(x,n)=1等价于gcd(x,y)=1 成立,则该式显然成立,下面证明这个命题. 假设gcd(x,y)=1时,gcd(x,n)=k!=1,则n=n'k,x=x'k,gcd(x,y)=gcd(x,n-x)=gcd(x'k,(n'-x')k)=k,与假设gcd(x,y)=1不符,

一.基本概述在数论,对正整数n,欧拉函数varphi(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等. 二.计算公式 三.基本性质欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数. 对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1). 欧拉函数的一些性质: 1.对于素数p, φ(p)=p-1,对于对两个素数p,q φ(pq)=pq-1 欧拉函数是积性函数,但不是完全积性

前言 咕咕了好久终于来学习莫反了 要不是不让在机房谁会发现数学一本通上有这么神奇的东西 就是没有性质的证明 然后花了两节数学课证明了一遍 舒服- 前置知识:欧拉函数,二项式定理(组合数) 会欧拉函数的可以直接看\(Mobius\)了 欧拉函数 含义 \(\phi (n)\) 表示比\(n\)小的数中与\(n\)互质的数的个数 引理1 \(n\)为质数,\(\phi(n) = n - 1\) \(n=a*b\) 且 \((a, b) = 1\),则\(\phi(n) = \phi(a) * \ph

题意: 给你一个正整数n,问你在区间[1,n)中有多少数与n互质 题解: 1既不是合数也不是质数(1不是素数) 互质是公约数只有1的两个整数,叫做互质整数.公约数只有1的两个自然数,叫做互质自然数 所以1与任何整数都互质 根据欧拉函数求解 欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目. 欧拉函数的性质:它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后,所有的素数幂上的欧拉函数之积. 欧拉函数的值 通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)-..(1-1/pn),

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y)=p ---> gcd(x/p,y/p)=1 每个质数做一遍行了 答案是欧拉函数的前缀和*2

题目:http://cogs.pw/cogs/problem/problem.php?pid=2533 这道题考察打表观察规律. 发现对f的定义实际是递归式的 f(n,k) = f(0,f(n-1,k)) f(0,k) = balabalabalabala 所以,实际上的f(n,k)是这么个东西 f(0,(0,(0,(0,(0,(0,(0,(0,k)))))))) 直接递归求解并打出表来,我们可以发现这样的事实 f(0,k) = k+1 所以有f(n,k) = n + k + 1; 所以题目就转