MT【206】证明整数数列
2024-08-26 20:08:49
已知方程$x^3-x^2-x+1=0$,的三根根为$a,b,c$,
若$k_n=\dfrac{a^n-b^n}{a-b}+\dfrac{b^n-c^n}{b-c}+\dfrac{c^n-a^n}{c-a}$
证明:$\{k_n\}$为整数数列。
提示:注意到$x^3=x^2+x+1$故
$a^{n+1}=a^n+a^{n-1}+a^{n-2}$
$b^{n+1}=b^n+b^{n-1}+b^{n-2}$
$c^{n+1}=c^n+c^{n-1}+c^{n-2}$
从而可得$k^{n+1}=k^n+k^{n-1}+k^{n-2}$,由$k_0=0,k_1=3,k_2=2$数归可得证.
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