【WC2018】通道（边分治，虚树，动态规划）
2024-08-26 15:19:24
【WC2018】通道（边分治，虚树，动态规划）
题面
题解
既然是三棵树，那么显然就是找点什么东西来套个三层。
一棵树怎么做？入门dp。
两棵树？假设在第一棵树中的深度为\(dep\)。在第一棵树中枚举\(LCA\)，因为两点之间距离可以转化为两点深度和减去两倍\(LCA\)的深度，而已知当前的\(LCA\)是谁了。那么在第二棵树上的每个节点\(u\)下挂一个\(u'\)，边权为\(dep[u]\)，那么枚举\(LCA\)之后答案就是在当前\(LCA\)的不同子树中的两点\((x\)在第二棵树上的\((x',y')\)的距离最大值。而动态维护两点距离最大值，也就是动态维护直径，直径可以很简单的合并。那么只需要维护一下枚举到每个\(LCA\)的时候在第二棵树上的直径就好了。大概是线性的？
然后三棵树？
那么第一层就边分治解决。
考虑过边\((u,v)\)的贡献，假设在两侧子树中选择的点是\((x,y)\)。
那么答案就是：\(dis1(x,y)+dis2(x,y)+dis3(x,y)\)。
此时\(dis1(x,y)\)已知，只需要考虑剩下的两个部分。
因为这个计算同时涉及到两个点，因此我们不得不枚举点对。
但是我们知道：\(dis(x,y)=dis(root,x)+dis(root,y)-2dis(root,LCA(x,y))\)，假设到根的距离为\(dep\)，就是\(dis(x,y)=dep(x)+dep(y)-2dep(LCA)\)。
显然通过边分治我们可以知道单独与某个点相关的所有贡献，因此唯一需要考虑的就是剩下的\(2dep2(LCA2(x,y))+2dep3(LCA3(x,y))\)。
定义\(w(x)=D(x)+dep2(x)+dep3(x)\)，其中\(D\)表示到达分治边的距离。
那么现在要做的就是最大化\(w(x)+w(y)-2dep2(LCA2(x,y))-2dep3(LCA3(x,y))\)。
现在\(w(x),w(y)\)在边分治之后已知，考虑计算后面两个东西。
我们把当前分治所考虑的所有点给丢到\(T2\)上面构建虚树，这样子可以在\(LCA2\)处合并答案，那么我们在虚树上考虑在哪里合并，此时就是要找到当前点的不同子树中的\((x,y)\)，而\(dep(LCA2)\)因为在此合并答案，所以此时已知，所以要求的变成了最大化\(w(x)+w(y)-2dep3(LCA3)\)。
似乎又看见了枚举\(LCA\)。然后回想起了两棵树的做法，于是又在\(u\)底下挂一个\(u'\)，权值为\(D(x)+dep2(x)\)。那么又变成了在虚树上枚举\(LCA\)，然后求不同子树上的点在第三棵树上的\((u',v')\)的距离最大值了\(QwQ\)。
似乎说起来就这么多了。。。
写起来瞬间\(6k+\)了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 400100
inline ll read()
{
ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int lg[MAX];
int S[2][MAX],top[2],type[MAX];
ll W[MAX],ans;
namespace Tree3
{
struct Line{int v,next;ll w;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,ll w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
int st[20][MAX],sum,fir[MAX];
int dep[MAX];ll dis[MAX];
void dfs(int u,int ff)
{
st[0][++sum]=u;fir[u]=sum;dep[u]=dep[ff]+1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(e[i].v!=ff)
dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w,dfs(e[i].v,u),st[0][++sum]=u;
}
int Compare(int a,int b){return dep[a]<dep[b]?a:b;}
void pre()
{
for(int j=1;j<=lg[sum];++j)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=sum;++i)
st[j][i]=Compare(st[j-1][i],st[j-1][i+(1<<(j-1))]);
}
int LCA(int u,int v)
{
u=fir[u];v=fir[v];if(u>v)swap(u,v);
int l=lg[v-u+1];
return Compare(st[l][u],st[l][v-(1<<l)+1]);
}
ll Dis(int u,int v){return W[u]+W[v]+dis[u]+dis[v]-2*dis[LCA(u,v)];}
}
namespace Tree2
{
struct Line{int v,next;ll w;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,ll w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
int st[20][MAX],sum;
int dfn[MAX],low[MAX],tim,fir[MAX];
int dep[MAX];ll dis[MAX];
void dfs(int u,int ff)
{
st[0][++sum]=u;dfn[u]=++tim;fir[u]=sum;dep[u]=dep[ff]+1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(e[i].v!=ff)
dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w,dfs(e[i].v,u),st[0][++sum]=u;
low[u]=tim;
}
int Compare(int a,int b){return dep[a]<dep[b]?a:b;}
void pre()
{
for(int j=1;j<=lg[sum];++j)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=sum;++i)
st[j][i]=Compare(st[j-1][i],st[j-1][i+(1<<(j-1))]);
memset(h,0,sizeof(h));cnt=1;
}
int LCA(int u,int v)
{
u=fir[u];v=fir[v];if(u>v)swap(u,v);
int l=lg[v-u+1];
return Compare(st[l][u],st[l][v-(1<<l)+1]);
}
struct Pair{int u,v;ll dis;}f[MAX][2];
Pair make(int u,int v,ll dis){if(u>v)swap(u,v);return (Pair){u,v,dis};}
Pair make(int u,int v){if(u>v)swap(u,v);return (Pair){u,v,Tree3::Dis(u,v)};}
bool operator<(Pair a,Pair b){if(!a.u)return true;if(!b.u)return false;return a.dis<b.dis;}
Pair operator+(Pair a,Pair b)
{
Pair ret=max(a,b);
ret=max(ret,max(make(a.u,b.u),make(a.u,b.v)));
ret=max(ret,max(make(a.v,b.u),make(a.v,b.v)));
return ret;
}
ll Calc(Pair a,Pair b){return max(max(make(a.v,b.u),make(a.v,b.v)),max(make(a.u,b.u),make(a.u,b.v))).dis;}
int Q[MAX<<2],T,Stack[MAX<<1];
bool cmp(int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];}
bool vis[MAX];
void DP(int u,ll Pls)
{
f[u][0]=f[u][1]=make(0,0,0);
if(vis[u])f[u][type[u]]=make(u,u,0);
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;DP(v,Pls);
ans=max(ans,max(Calc(f[u][0],f[v][1]),Calc(f[u][1],f[v][0]))+Pls-2*dis[u]);
f[u][0]=f[u][0]+f[v][0];
f[u][1]=f[u][1]+f[v][1];
}
}
void Solve(ll Pls)
{
T=0;cnt=1;
for(int i=1;i<=top[0];++i)Q[++T]=S[0][i];
for(int i=1;i<=top[1];++i)Q[++T]=S[1][i];
sort(&Q[1],&Q[T+1],cmp);
for(int i=1;i<=T;++i)W[Q[i]]+=dis[Q[i]];
for(int i=1;i<=T;++i)vis[Q[i]]=true;
for(int i=T;i>1;--i)Q[++T]=LCA(Q[i],Q[i-1]);
sort(&Q[1],&Q[T+1],cmp);T=unique(&Q[1],&Q[T+1])-Q-1;
for(int i=1,top=0;i<=T;++i)
{
while(top&&low[Stack[top]]<dfn[Q[i]])--top;
if(top)Add(Stack[top],Q[i],dis[Q[i]]-dis[Stack[top]]);Stack[++top]=Q[i];
}
DP(Q[1],Pls);
for(int i=1;i<=T;++i)if(vis[Q[i]])W[Q[i]]-=dis[Q[i]];
for(int i=1;i<=T;++i)vis[Q[i]]=false,h[Q[i]]=0;
}
}
namespace Tree1
{
struct Line{int v,next;ll w;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,ll w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
vector<int> son[MAX];
int n,N;ll V[MAX];
void dfs(int u,int ff)
{
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(e[i].v!=ff)son[u].push_back(e[i].v),V[e[i].v]=e[i].w,dfs(e[i].v,u);
}
void ReBuild()
{
cnt=2;memset(h,0,sizeof(h));
for(int i=1;i<=N;++i)
{
int l=son[i].size();
if(l<=2)
for(int j=0;j<l;++j)
Add(i,son[i][j],V[son[i][j]]),Add(son[i][j],i,V[son[i][j]]);
else
{
int ls=++N,rs=++N;
Add(i,ls,0);Add(ls,i,0);Add(i,rs,0);Add(rs,i,0);
for(int j=0;j<l;++j)
if(j&1)son[ls].push_back(son[i][j]);
else son[rs].push_back(son[i][j]);
}
}
}
bool vis[MAX];
int size[MAX],mx,rt;
ll dis[MAX];
void getroot(int u,int ff,int Size)
{
size[u]=1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;if(vis[i>>1]||v==ff)continue;
getroot(v,u,Size);size[u]+=size[v];
int ret=max(size[v],Size-size[v]);
if(ret<mx)mx=ret,rt=i;
}
}
void dfs(int u,int ff,int opt)
{
if(u<=n)type[u]=opt,S[opt][++top[opt]]=u;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(e[i].v!=ff&&!vis[i>>1])
dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w,dfs(e[i].v,u,opt);
}
void Divide(int u,int Size)
{
mx=1e9;getroot(u,0,Size);
if(mx>=1e9)return;
vis[rt>>1]=true;int nw=rt,SS=Size-size[e[rt].v];
top[0]=top[1]=dis[e[nw].v]=dis[e[nw^1].v]=0;
dfs(e[nw].v,0,0);dfs(e[nw^1].v,0,1);
for(int i=1;i<=top[0];++i)W[S[0][i]]+=dis[S[0][i]];
for(int i=1;i<=top[1];++i)W[S[1][i]]+=dis[S[1][i]];
Tree2::Solve(e[rt].w);
for(int i=1;i<=top[0];++i)W[S[0][i]]-=dis[S[0][i]];
for(int i=1;i<=top[1];++i)W[S[1][i]]-=dis[S[1][i]];
Divide(e[nw].v,size[e[nw].v]);
Divide(e[nw^1].v,SS);
}
}
int n;
int main()
{
n=read();Tree1::N=Tree1::n=n;
for(int i=2;i<=n+n;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int i=1;i<n;++i)
{
int u=read(),v=read();ll w=read();
Tree1::Add(u,v,w);Tree1::Add(v,u,w);
}
for(int i=1;i<n;++i)
{
int u=read(),v=read();ll w=read();
Tree2::Add(u,v,w);Tree2::Add(v,u,w);
}
for(int i=1;i<n;++i)
{
int u=read(),v=read();ll w=read();
Tree3::Add(u,v,w);Tree3::Add(v,u,w);
}
Tree2::dfs(1,0);Tree2::pre();
Tree3::dfs(1,0);Tree3::pre();
Tree1::dfs(1,0);Tree1::ReBuild();Tree1::Divide(1,Tree1::N);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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