这篇文章主要是结合机器学习实战将推荐算法和SVD进行对应的结合

不论什么一个矩阵都能够分解为SVD的形式

事实上SVD意义就是利用特征空间的转换进行数据的映射，后面将专门介绍SVD的基础概念。先给出python，这里先给出一个简单的矩阵。表示用户和物品之间的关系

这里我自己有个疑惑？

对这样一个DATA = U（Z）Vt

这里的U和V真正的几何含义  :  书上的含义是U将物品映射到了新的特征空间， V的转置  将 用户映射到了新的特征空间

以下是代码实现。同一时候SVD还能够用于降维，降维的操作就是通过保留值比較的神秘值

# -*- coding: cp936 -*-

'''

Created on Mar 8, 2011

@author: Peter

'''

from numpy import *

from numpy import linalg as la #用到别名

#这里主要结合推荐系统介绍SVD，所以这里的数据都能够看成是用户对物品的一个打分

def loadExData():

    return[[0, 0, 0, 2, 2],

           [0, 0, 0, 3, 3],

           [0, 0, 0, 1, 1],

           [1, 1, 1, 0, 0],

           [2, 2, 2, 0, 0],

           [5, 5, 5, 0, 0],

           [1, 1, 1, 0, 0]]

def loadExData2():

    return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],

           [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],

           [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],

           [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],

           [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],

           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],

           [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],

           [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],

           [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],

           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],

           [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]

def ecludSim(inA,inB):

    return 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))  #计算向量的第二范式,相当于直接计算了欧式距离

def pearsSim(inA,inB):

    if len(inA) < 3 : return 1.0

    return 0.5+0.5*corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1] #corrcoef直接计算皮尔逊相关系数

def cosSim(inA,inB):

    num = float(inA.T*inB)

    denom = la.norm(inA)*la.norm(inB)

    return 0.5+0.5*(num/denom)  #计算余弦类似度

#协同过滤算法

#dataMat 用户数据 user 用户 simMeas 类似度计算方式 item 物品

def standEst(dataMat, user, simMeas, item):

    n = shape(dataMat)[1] #计算列的数量，物品的数量

    simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0

    for j in range(n):

        userRating = dataMat[user,j]

        print(dataMat[user,j])

        if userRating == 0: continue  #假设用户u没有对物品j进行打分。那么这个推断就能够跳过了

        overLap = nonzero(logical_and(dataMat[:,item].A>0, \

                                      dataMat[:,j].A>0))[0]    #找到对物品 j 和item都打过分的用户

        if len(overLap) == 0: similarity = 0

        else: similarity = simMeas(dataMat[overLap,item], dataMat[overLap,j])     #利用类似度计算两个物品之间的类似度

        print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)

        simTotal += similarity

        ratSimTotal += similarity * userRating  #待推荐物品与用户打过分的物品之间的类似度*用户对物品的打分

    if simTotal == 0: return 0

    else: return ratSimTotal/simTotal

#利用SVD进行分解，可是这里是直接用的库里面的函数

    #假设自己实现一个SVD分解。我想就是和矩阵论里面的求解知识是一样的吧，可是可能在求特征值的过程中会比較痛苦

def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):

    n = shape(dataMat)[1]

    simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0

    U,Sigma,VT = la.svd(dataMat) #直接进行分解

    Sig4 = mat(eye(4)*Sigma[:4]) #arrange Sig4 into a diagonal matrix

    xformedItems = dataMat.T * U[:,:4] * Sig4.I  #create transformed items

    for j in range(n):

        userRating = dataMat[user,j]

        if userRating == 0 or j==item: continue

        similarity = simMeas(xformedItems[item,:].T,\

                             xformedItems[j,:].T)

        print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)

        simTotal += similarity

        ratSimTotal += similarity * userRating

    if simTotal == 0: return 0

    else: return ratSimTotal/simTotal

#真正的推荐函数，后面两个函数就是採用的类似度的计算方法和推荐用的方法

def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):

    unratedItems = nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1]  #find unrated items  nonzero()[1]返回的是非零值所在的行数。返回的是一个元组   if len(unratedItems) == 0: return 'you rated everything'

    itemScores = []

    for item in unratedItems:

        estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)

        itemScores.append((item, estimatedScore))

    return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[:N]

#扩展的样例。利用SVD进行图像的压缩

#将图像打印出来

def printMat(inMat, thresh=0.8):

    for i in range(32):

        for k in range(32):

            if float(inMat[i,k]) > thresh:

                print 1,

            else: print 0,

        print ''

#最后发现重构出来的数据图是差点儿相同的

def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):

    myl = []

    for line in open('0_5.txt').readlines():

        newRow = []

        for i in range(32):

            newRow.append(int(line[i]))

        myl.append(newRow)

    myMat = mat(myl)   #将数据读入了myMat其中

    print "****original matrix******"

    printMat(myMat, thresh)

    U,Sigma,VT = la.svd(myMat)

    SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))   #构建一个3*3的空矩阵

    for k in range(numSV):#construct diagonal matrix from vector

        SigRecon[k,k] = Sigma[k]

    reconMat = U[:,:numSV]*SigRecon*VT[:numSV,:]

    print "****reconstructed matrix using %d singular values******" % numSV

    printMat(reconMat, thresh)

通过结果能够看到，降维前和降维后的图片基本都是相似的