山区建小学(区间dp+前缀和+预处理)
2024-10-07 09:14:47
【题目描述】
政府在某山区修建了一条道路,恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次,没有回路或交叉,任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di(为正整数),其中,0 < i < m。为了提高山区的文化素质,政府又决定从m个村中选择n个村建小学(设 0 < n < = m < 500 )。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离,选择在哪些村庄建小学,才使得所有村到最近小学的距离总和最小,计算最小值。
【题目链接】
http://noi.openjudge.cn/ch0206/7624/
【算法】
- 定义dp[i][j]为前i个村庄建j个小学,构建状态转移方程为dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j] + cost[i+1][j]) 其中cost[i][j]表示第i个村庄到第j个村庄建一个小学的最短距离和
- 预处理cost数组,众所周知,满足最短距离和的小学应该建在中位数的村庄处,同时也满足递推关系:cost[i][j] = cost[i][j-1] + dist[j] - dist[i+j>>1]
- 前缀和就是村庄所处位置
【代码】
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int m,n,i,j,k;
int dist[],cost[][],dp[][];
int main()
{
cin>>m>>n;
dist[]=;
for(i=;i<=m;i++)
cin>>dist[i],dist[i]+=dist[i-];
for(i=;i<=m;i++)
for(j=i+;j<=m;j++)
cost[i][j]=cost[i][j-]+dist[j]-dist[i+j>>];
memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
for(i=;i<=m;i++) dp[i][]=cost[][i];
for(i=;i<=m;i++)
for(j=;j<=min(i,n);j++)
for(k=j-;k<i;k++)
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-]+cost[k+][i]);
cout<<dp[m][n];
return ;
}
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