矩阵快速幂+概率DP poj 3744

题意：在一条不满地雷的路上，你现在的起点在1处。在N个点处布有地雷，1<=N<=10。地雷点的坐标范围：[1,100000000].

每次前进p的概率前进一步，1-p的概率前进1-p步。问顺利通过这条路的概率。就是不要走到有地雷的地方。

设dp[i]表示到达i点的概率，则初始值 dp[1]=1.

很容易想到转移方程： dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2];

但是由于坐标的范围很大，直接这样求是不行的，而且当中的某些点还存在地雷。

N个有地雷的点的坐标为 x[1],x[2],x[3]```````x[N].

我们把道路分成N段：

1~x[1];

x[1]+1~x[2];

x[2]+1~x[3];

x[N-1]+1~x[N].

这样每一段只有一个地雷。我们只要求得通过每一段的概率。乘法原理相乘就是答案。

对于每一段，通过该段的概率等于1-踩到该段终点的地雷的概率。

就比如第一段 1~x[1]. 通过该段其实就相当于是到达x[1]+1点。那么p[x[1]+1]=1-p[x[1]].

但是这个前提是p[1]=1,即起点的概率等于1.对于后面的段我们也是一样的假设，这样就乘起来就是答案了。

对于每一段的概率的求法可以通过矩阵乘法快速求出来。

 /*

 POJ 3744

 C++  0ms 184K

 */

 #include<stdio.h>

 #include<string.h>

 #include<algorithm>

 #include<iostream>

 #include<math.h>

 using namespace std;

 struct Matrix

 {

     double mat[][];

 };

 Matrix mul(Matrix a,Matrix b)

 {

     Matrix ret;

     for(int i=;i<;i++)

       for(int j=;j<;j++)

       {

           ret.mat[i][j]=;

           for(int k=;k<;k++)

             ret.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];

       }

     return ret;

 }

 Matrix pow_M(Matrix a,int n)

 {

     Matrix ret;

     memset(ret.mat,,sizeof(ret.mat));

     for(int i=;i<;i++)ret.mat[i][i]=;

     Matrix temp=a;

     while(n)

     {

         if(n&)ret=mul(ret,temp);

         temp=mul(temp,temp);

         n>>=;

     }

     return ret;

 }

 int x[];

 int main()

 {

     int n;

     double p;

     while(scanf("%d%lf",&n,&p)!=EOF)//POJ上G++要改为cin输入

     {

         for(int i=;i<n;i++) scanf("%d",&x[i]);

         sort(x,x+n);

         double ans=;

         Matrix tt;

         tt.mat[][]=p;

         tt.mat[][]=-p;

         tt.mat[][]=;

         tt.mat[][]=;

         Matrix temp;

         temp=pow_M(tt,x[]-);

         ans*=(-temp.mat[][]);

         for(int i=;i<n;i++){

             if(x[i]==x[i-])continue;

             temp=pow_M(tt,x[i]-x[i-]-);

             ans*=(-temp.mat[][]);

         }

         printf("%.7lf\n",ans);//POJ上G++要改为%.7f

     }

     return ;

 }

巴特西

矩阵快速幂+概率DP poj 3744

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