LG P2822 NOIP2016D2T1 组合数问题
2024-08-31 08:51:45
一句话题意
给定n、m和k,求对于所有的i(0<=i<=n)和j(0<=j<=min(i,m)),有多少对(i,j)使\(C_i^j\)使k的倍数
数据范围
部分分、满分做法和思路
30pts
直接暴力套公式(不用杨辉三角)
90pts
杨辉三角+二分。
具体实现:用vectorv[2005],v[i]中的元素j都是使得(i,j)可以满足要求的j。那么给定n、m后,枚举n,二分m即可。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,k,c[2005][2005];
vector<int>v[2005];
int main()
{
scanf("%d %d",&T,&k);
c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
for(int i=2;i<=2000;i++)
{
for(int j=0;j<=2000;j++)
{
c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;
if(c[i][j]%k==0) v[i].push_back(j);
}
}
while(T--)
{
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
int ans=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(v[i].size()==0) continue;
int endd=min(m,i);
int l=0,r=v[i].size()-1,mid,tans=-1;
while(l<=r)
{
mid=(l+r)/2;
if(v[i][mid]>endd) r=mid-1;
else l=mid+1,tans=mid;
}
ans+=tans+1;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
100pts
(其实上面那种做法在我的电脑上能A。。但洛谷上T了两个点。不知道CCF少爷机会怎么样)
二分仍然太慢。让我们考虑预处理+O(1)回答每个询问的方法:前缀和(二维的)
用qian[i][j]表示n=i,m=j时有多少组解满足要求。很好实现。(r数组是辅助数组,r[i][j]表示n=i时的一维前缀和)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,k,c[2005][2005],qian[2005][2005],r[2005][2005];
bool ok[2005][2005];
//vector<int>v[2005];
int main()
{
scanf("%d %d",&T,&k);
c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
for(int i=2;i<=2000;i++)
{
for(int j=0;j<=i;j++)
{
c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;
if(c[i][j]%k==0) ok[i][j]=1;
}
}
for(int i=1;i<=2000;i++)
{
r[i][0]=ok[i][0];
for(int j=1;j<=2000;j++)
{
r[i][j]=r[i][j-1]+ok[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=2000;i++)
{
for(int j=0;j<=2000;j++)
{
qian[i][j]=qian[i-1][j]+r[i][j];
}
}
while(T--)
{
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
/*int ans=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(v[i].size()==0) continue;
int endd=min(m,i);
int l=0,r=v[i].size()-1,mid,tans=-1;
while(l<=r)
{
mid=(l+r)/2;
if(v[i][mid]>endd) r=mid-1;
else l=mid+1,tans=mid;
}
ans+=tans+1;
}*/
printf("%d\n",qian[n][m>n?n:m]);
}
return 0;
}
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