前言

$Miller-Robbin$ 与 $Pollard Rho$ 虽然都是随机算法，不过用起来是真的爽。

$Miller Rabin$ 算法是一种高效的质数判断方法。虽然是一种不确定的质数判断法，但是在选择多种底数的情况下，正确率是可以接受的。

$Pollard Rho$ 是一个非常玄学的方式，用于在 $O(n^{1/4})$ 的期望时间复杂度内计算合数$n$的某个非平凡因子。

事实上算法导论给出的是 $O(\sqrt p)$ ， $p$ 是 $n$ 的某个最小因子，满足 $p$ 与 $\frac{n}{p}$ 互质。

但是这些都是期望，未必符合实际。但事实上 $Pollard Rho$ 算法在实际环境中运行的相当不错。

注：以上摘自洛谷。

Miller-Robbin

前置芝士

1. 费马小定理

内容：若 $\varphi(p)=p-1,\,p>1$，则$a^{p}\equiv a\pmod{p}$ 或 $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p},\,(a<p)$
证明：戳这里

2. 二次探测定理

内容：如果 $\varphi(p)=p-1,\,p>1,\,p>X$ ，且$X^2\equiv 1\pmod{p}$，那么$X=1\ or\ p-1$
证明：

$\because$ $X^2\equiv 1\pmod{p}$

$\therefore$ $p|X^2-1$

$\therefore$ $p|(X+1)(X-1)$

$\because$ $p$是大于$X$的质数

$\therefore$ $p=X+1\ or\ p\equiv X-1\pmod{p}$，即$X=1\ or\ p-1$。

算法原理

由费马小定理，我们可以有一个大胆的想法：满足 $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ 的数字 $p$ 是一个质数。

可惜，这样的猜想是错误的，可以举出大量反例，如：$2^{340}\equiv 1\pmod{341}$，然鹅 $341=31*11$ 。

所以，我们可以取不同的 $a$ 多验证几次，不过，$\forall a这时，二次探测就有很大的用途了。结合费马小定理，正确率就相当高了。

这里推荐几个 $a_i$ 的值： $2，3，5，7，11，61，13，17$。用了这几个 $a_i$，就连那个被称为强伪素数的 $46856248255981$ 都能被除去。

主要步骤

.将 $p-1$ 提取出所有 $2$ 的因数，假设有$s$ 个。设剩下的部分为 $d$（这里提取所有$2$的因数，是为了下面应用二次探测定理）。
枚举一个底数 $a_i$ 并计算 $x=a_i^{d}\pmod p$。
令 $y=x^{2}\pmod p$，如果没有出现过 $p-1$，那么 $p$ 未通过二次探测，不是质数。
否则，若底数已经足够，则跳出；否则回到第二步。

简易代码

```cpp
#define ll long long
ll p,a[]={2,3,5,7,11,61,13,17};
inline ll mul(ll a,ll b,ll mod)
{
ll ans=0;
for(ll i=b;i;i>>=1)
{
if(i&1) ans=(ans+a)%p;
a=(a>=1)
{
if(i&1) ans=mul(ans,a,p);
a=mul(a,a,p);
}
return ans%p;
}
bool Miller_Robbin(ll p)
{
if(p==2) return true;
if(p==1 || !(p%2)) return false;
ll d=p-1;int s=0;
while(!(d&1)) d>>=1,++s;
for(int i=0;iPollard Rho

大致流程

先判断当前数是否是素数（这里就可应用 $Miller-Robbin$ ），如果是则直接返回
如果不是素数的话，试图找到当前数的一个因子（可以不是质因子）
递归对该因子和约去这个因子的另一个因子进行分解

如何找因子

一个一个试肯定是不行的。而这个算法的发明者采取了一种清奇的思路。（即采取随机化算法）

我们假设要找的因子为p
随机取一个 $x、y$，不断调整 $x$ ，具体的办法通常是 $x=x*x+c$（c是随机的，也可以自己定）。
取 $p=gcd(y-x,n)$ ，若$p \in \left(1,n\right)$ ，则找到了一个因子，就返回。
如果出现 $x=y$ 的循环，就说明出现了循环，并不断在这个环上生成以前生成过一次的数，所以我们必须写点东西来判环：我们可以用倍增的思想，让$y$记住$x$的位置，然后$x$再跑当前跑过次数的一倍的次数。这样不断让$y$记住$x$的位置，x再往下跑，因为倍增所以当$x$跑到$y$时，已经跑完一个圈。
同时最开始设定两个执行次数$i=1、k=2$（即倍增的时候用），每次取 $gcd$ 时 $++i$ ；如果 $i==k$ ，则令 $y=x$ ，并将 $k$ 翻倍。

完整代码

题目：$Luogu4718 Pollard-Rho$算法。

#include<cstdio>

#include<ctime>

#include<map>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define rg register int

#define V inline void

#define I inline int

#define db double

#define B inline bool

#define ll long long

#define F1(i,a,b) for(rg i=a;i<=b;++i)

#define F3(i,a,b,c) for(rg i=a;i<=b;i+=c)

#define ed putchar('\n')

#define bl putchar(' ')

template<typename TP>V read(TP &x)

{

	TP f=1;x=0;register char c=getchar();

	for(;c>'9'||c<'0';c=getchar()) if(c=='-') f=-1;

	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);

	x*=f;

}

template<typename TP>V print(TP x)

{

	if(x<0) x=-x,putchar('-');

	if(x>9) print(x/10);

	putchar(x%10+'0');

}

int T;

ll n,ans;

ll a[]={2,3,5,7,11,61,13,17,24251};

template<typename TP>inline ll Gcd(TP a,TP b) {return !b?a:Gcd(b,a%b);}

template<typename TP>inline ll mul(TP a,TP b,TP p)

{

    ll ans=0;

    for(TP i=b;i;i>>=1)

    {

        if(i&1) ans=(ans+a)%p;

        a=(a<<1)%p;

    }

    return ans%p;

}

template<typename TP>inline ll Pow(TP a,TP b,TP p)

{

	ll ans=1;

	for(TP i=b;i;i>>=1)

	{

		if(i&1) ans=mul(ans,a,p);

		a=mul(a,a,p);

	}

	return ans%p;

}

B Miller_Robbin(ll n)

{

	if(n<2) return false;

	if(n==2) return true;

	if(n%2==0) return false;

	ll d=n-1;int s=0;

	while(!(d&1)) d>>=1,++s;

	for(rg i=0;i<=8 && a[i]<n;++i)

	{

		ll x=Pow(a[i],d,n),y=0;

		F1(j,0,s-1)

		{

			y=mul(x,x,n);

			if(y==1 && x!=1 && x!=(n-1)) return false;

			x=y;

		}

		if(y!=1) return false;

	}

	return true;

}

inline ll Pollard_Rho(ll n)

{

	ll x,y,c,i,k;

	while(true)

	{

		ll x=rand()%(n-2)+1;

		ll y=rand()%(n-2)+1;

		ll c=rand()%(n-2)+1;

		i=0,k=1;

		while(++i)

		{

			x=(mul(x,x,n)+c)%n;

			if(x==y) break;

			ll d=Gcd(abs(y-x),n);

			if(d>1) return d;

			if(i==k) {y=x;k<<=1;}

		}

	}

}

V Find(ll n)

{

	if(n==1) return;

	if(Miller_Robbin(n)) {ans=max(ans,n);return;}

	ll p=n;

	while(n<=p) p=Pollard_Rho(p);

	Find(p);Find(n/p);

}

int main()

{

	read(T);srand(time(0));

	while(T--)

	{

		ans=0;

		read(n);Find(n);

		if(ans==n) puts("Prime");

		else print(ans),ed;

	}

	return 0;

}

**emmmm $\cdots$ **

这数据也太毒瘤了吧！！

看来要疯狂卡常了

优化1（不如叫做卡常？）

蛋定的分析一波，我们发现除了 $Pollard-Rho$ 是 $O(n^{1/4})$ 的期望时间复杂度外， $gcd$ 和龟速乘都是 $O(\log N)$ 的。

虽然这种复杂度已经很优秀了，可对于本题的数据（$T≤350$ 、 $1≤n≤10^{18}$），还是太 $\cdots$

所以我们要果断摒弃这种很 $low$ 的龟速乘，改用一种暴力溢出的快速乘：

简单原理： $a \times b \ \ mod \ \ p=a \times b−\left \lfloor \frac{a \times b}{p} \right \rfloor$
用 long double 来处理这个 $\left \lfloor \frac{a \times b}{p} \right \rfloor$
然后处理一下浮点误差就可以了。
模数较大时可能会出锅。
不过出锅概率很小 $\cdots$

如下

```cpp
inline ll mul(ll a,ll b,ll mod)
{
a%=mod,b%=mod;
ll c=(long double)a*b/mod;
ll ret=a*b-c*mod;
if(ret=mod) ret-=mod;
return ret;
}
```

实践证明，战果辉煌：$6pts -> 94pts$ ！！！

优化2（正解）

虽然关于龟速乘的 $O(\log n)$ 的恶劣影响得到了一定遏制，不过，我还是好想 $AC$ 啊！

通过办法1 ：打表 $\cdots$

正确 $AC$ 姿势如下：

- 我们发现在 $Pollard-Rho$ 中如果长时间随机化而得不到结果，$gcd$带来的 $O(\log n)$ 还是很伤肾的！！那有没有办法优化呢？答案是肯定的。

在生成$x$的操作中，龟速乘所模的数就是$n$，而要求的就是$n$的某一个约数，即现在的模数并不是一个质数。
根据取模的性质：如果模数和被模的数都含有一个公约数，那么这次模运算的结果必然也会是这个公约数的倍数。所以如果我们将若干个$(y−x)$ 相乘，因为模数是 $n$ ，所以如果若干个$(y−x)$中有一个与$n$有公约数，最后的结果定然也会含有这个公约数。
所以可以多算几次$(y−x)$的乘积再来求$gcd$ （一般连续算$127$次再求一次$gcd$）。
不过$\cdots$，如果在不断尝试$x$的值时碰上一个环，就可能会还没算到$127$次就跳出这个环了，就无法得出答案；同时，可能$127$次计算之后，所有$(y−x)$的乘积都变成了$n$的倍数（即$\prod_{i=1}^{127} {(y-x)} \equiv
0 \pmod{n}$ ）
所以我们可以不仅在每计算$127$次之后求$gcd$、还要在倍增时（即判环时）求$gcd$，这样既维护了其正确性，又判了环！！
完整$AC$代码：

#include<cstdio>

#include<ctime>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define rg register int

#define V inline void

#define I inline int

#define db double

#define B inline bool

#define ll long long

#define F1(i,a,b) for(rg i=a;i<=b;++i)

#define F3(i,a,b,c) for(rg i=a;i<=b;i+=c)

#define ed putchar('\n')

#define bl putchar(' ')

template<typename TP>V read(TP &x)

{

	TP f=1;x=0;register char c=getchar();

	for(;c>'9'||c<'0';c=getchar()) if(c=='-') f=-1;

	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);

	x*=f;

}

template<typename TP>V print(TP x)

{

	if(x<0) x=-x,putchar('-');

	if(x>9) print(x/10);

	putchar(x%10+'0');

}

int T;

ll n,ans;

ll a[]={2,3,5,7,11,61,13,17};

template<typename TP>inline ll Gcd(TP a,TP b) {return !b?a:Gcd(b,a%b);}

inline ll mul(ll a,ll b,ll mod)

{

	a%=mod,b%=mod;

	ll c=(long double)a*b/mod;

	ll ret=a*b-c*mod;

	if(ret<0) ret+=mod;

	else if(ret>=mod) ret-=mod;

	return ret;

}

template<typename TP>inline ll Pow(TP a,TP b,TP p)

{

	ll ans=1;

	for(TP i=b;i;i>>=1)

	{

		if(i&1) ans=mul(ans,a,p);

		a=mul(a,a,p);

	}

	return ans%p;

}

B Miller_Robbin(ll n)

{

	if(n<2) return false;

	if(n==2) return true;

	if(n%2==0) return false;

	ll d=n-1;int s=0;

	while(!(d&1)) d>>=1,++s;

	for(rg i=0;i<=8 && a[i]<n;++i)

	{

		ll x=Pow(a[i],d,n),y=0;

		F1(j,0,s-1)

		{

			y=mul(x,x,n);

			if(y==1 && x!=1 && x!=(n-1)) return false;

			x=y;

		}

		if(y!=1) return false;

	}

	return true;

}

inline ll Pollard_Rho(ll n)

{

	while(true)

	{

		ll x=rand()%(n-2)+1;

		ll y=rand()%(n-2)+1;

		ll c=rand()%(n-2)+1;

		ll i=0,k=1,b=1;

		while(++i)

		{

			x=(mul(x,x,n)+c)%n;

			b=mul(b,abs(y-x),n);

			if(x==y || !b) break;

			if(!(i%127) || i==k)

			{

				ll d=Gcd(b,n);

				if(d>1) return d;

				if(i==k) y=x,k<<=1;

			}

		}

	}

}

V Find(ll n)

{

	if(n<=ans) return;

	if(Miller_Robbin(n)) {ans=max(ans,n);return;}

	ll p=Pollard_Rho(n);

	while(n%p==0) n/=p;

	Find(p),Find(n);

}

int main()

{

	read(T);srand(time(0));

	while(T--)

	{

		ans=0;

		read(n);Find(n);

		if(ans==n) puts("Prime");

		else print(ans),ed;

	}

	return 0;

}

巴特西

浅谈 Miller-Robbin 与 Pollard Rho

前言