正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4249

题目大意

\(n\)个点的竞赛图有的边已经确定了方向，要求给剩下的边确定一个方向使得图的三元环最多。

\(1\leq n\leq 100\)

解题思路

竞赛图如果三个点不能构成三元环有一个性质就是恰好有一个点的度数等于\(2\)，可以考虑减去不能构成三元环的方案。

也就说对于一个点\(x\)如果我们选出它的两条出边那么这个就不能构成三元环而且只会在点\(x\)统计一次。

所以答案就是

\[\binom n 3-\sum_{i=1}^n\binom{deg_i}2
\]

现在我们要最小化后面那个东西，这个就比较简单了，因为对于一条没有确定的边要么给\(x\)加度数要么给\(y\)加度数，我们可以考虑费用流，如果一条边可以指向\(x\)那么就连向点\(x\)费用\(0\)流量\(1\)。

然后对于每个点连接汇点的时候流量都是一，然后费用分别为\(0,1,2,3,...n-1\)就好了。

code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<queue>

using namespace std;

const int N=1e5+10;

struct node{

	int to,next,w,c;

}a[N*20];

int n,tot=1,s,t,cnt,ans;

int p[110][110],c[110][110],ls[N],f[N],mf[N],pre[N];

bool v[N];queue<int> q;

void addl(int x,int y,int w,int c){

	a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;a[tot].c=c;

	a[++tot].to=x;a[tot].next=ls[y];ls[y]=tot;a[tot].w=0;a[tot].c=-c;

	return;

}

bool SPFA(){

	memset(f,0x3f,sizeof(f));

	q.push(s);f[s]=0;v[s]=1;mf[s]=1e9;

	while(!q.empty()){

		int x=q.front();q.pop();v[x]=0;

		for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){

			int y=a[i].to;

			if(a[i].w&&f[x]+a[i].c<f[y]){

				f[y]=f[x]+a[i].c;pre[y]=i;

				mf[y]=min(mf[x],a[i].w);

				if(!v[y])v[y]=1,q.push(y);

			}

		}

	}

	return f[t]<=2147483647/3;

}

void Updata(){

	int x=t;

	ans+=mf[t]*f[t];

	while(x!=s){

		a[pre[x]].w-=mf[t];

		a[pre[x]^1].w+=mf[t];

		x=a[pre[x]^1].to;

	}

	return;

}

int main()

{

	scanf("%d",&n);

	s=1;t=2;cnt=n+2;

	for(int i=3;i<=n+2;i++)

		for(int j=0;j<n;j++)

			addl(i,t,1,j);

	for(int i=1;i<=n;i++)

		for(int j=1;j<=n;j++){

			int x;p[i][j]=++cnt;

			scanf("%d",&x);

			c[i][j]=x;

			if(i>=j)continue;

			addl(s,cnt,1,0);

			if(x==0||x==2)addl(cnt,j+2,1,0);

			if(x==1||x==2)addl(cnt,i+2,1,0);

		}

	while(SPFA())

		Updata();

	printf("%d\n",n*(n-1)*(n-2)/6-ans);

	for(int i=1;i<=n;i++)

		for(int j=1;j<=n;j++){

			if(c[i][j]!=2||i>=j)continue;

			int x=p[i][j];

			if(a[ls[x]].w)c[i][j]=0,c[j][i]=1;

			else c[i][j]=1,c[j][i]=0;

		}

	for(int i=1;i<=n;i++,putchar('\n'))

		for(int j=1;j<=n;j++)

			printf("%d ",c[i][j]);

	return 0;

}

巴特西

P4249-[WC2007]剪刀石头布【费用流】

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