$\infty$-former: Infinite Memory Transformer

概
主要内容
- 如何扩展?
- 实验细节

Martins P., Marinho Z. and Martins A. $\infty$-former: Infinite Memory Transformer. arXiv preprint arXiv:2109.00301, 2021.

概

在transformer中引入一种长期记忆机制.

主要内容

假设$X \in \mathbb{R}^{L \times d}$, 即每一行$x_i$代表一个token对应的特征.

Attention需要进行如下的步骤:

\[Q = XW^Q, K = X W^K, V = XW^V, \\
Z = \mathrm{softmax}(\frac{QK^T}{\sqrt{d}})V.
\]

为了符号简易起见, 我们不考虑multi-head的情形, 下面的思想可以直接应用之.

我们知道, 可以通过径向基函数来逼近任意的连续函数:

\[\sum_{k} b_k \psi_k (t) \rightarrow f(t).
\]

现在, 我们令$t_i = \frac{i}{L}$, 即对$L$个tokens冠以时序, $X$的每一列都可以看成一个特殊的$f_j(t)$的位于$t_i, i=0,1,\cdots, L-1$处的值.

给定$N$个基函数$\psi_k (t), k=0,1,\cdots, N-1$, 我们要通过求解系数$\bm{b}_j = [b_{j0}, b_{j1},\cdots b_{j,N-1}]^T$来逼近$f_j$($X$的第$j$列).

设$\Psi \in \mathbb{R}^{N \times L}, \Psi_{ki}=\psi_{k}(t_i)$, $B \in \mathbb{R}^{d \times N}, B_{jk} = b_{jk}$.

作者通过岭回归来求解系数$b$:

\[B = \arg \min_{B} \|B \Psi - X^T\|_F^2 + \lambda \|B\|_F^2,
\]

其显示表达式为:

\[B = X^T\Psi^T(\Psi\Psi^T + \lambda I)^{-1}.
\]

故

\[X^T \approx B\Psi \rightarrow x_i \approx B \psi (t_i).
\]

现在我们用$\tilde{X} := \Psi^T B^T$来代替$X$, 则

\[K = \tilde{X} W^K = \Psi^TB^TW^K, \tilde{V} = \tilde{X}W^V = \Psi^TB^TW^V.
\]

注意, 我们并不对$Q$进行替换, 因为这个只是用作长期的记录用, Q每次重新计算.

对于每个$q_i$, 我们构建一个其关于$t$的密度函数$p_i(t)$, 文中假设其满足高斯分布:

\[\mathcal{N}(t; \mu_i; \sigma_i^2).
\]

$\mu_i, \sigma_i^2$分别通过如下估计:

\[\mu_i = \mathrm{sigmoid} (w_{\mu}^T K q_i)
=\mathrm{sigmoid} (w_{\mu}^T B^TW^K q_i), \\
\sigma^2_i = \mathrm{softplus} (w_{\sigma}^T K q_i)
=\mathrm{softplus} (w_{\sigma}^T B^TW^K q_i). \\
\]

注意最后令$w^T\Psi^T = w^T$既然$\Psi$是事先确定的.

我们知道

\[\mathrm{softmax}(\frac{Kq_i}{\sqrt{d}})
\]

实际上求解的是一个离散化的$p_i(t)$, 即$q_i$和$k_j$的相合程度, 而

\[\mathrm{softmax}(\frac{Kq_i}{\sqrt{d}})^TV
\]

实际上就是求解期望

\[\mathbb{E}_{p_i}[v(t)].
\]

现在我们近似了一个连续的$p_i(t)$, 也可以通过这种方式得到最后的$z_i$:

\[\mathbb{E}_{p_i}[v(t)]
=\mathbb{E}_{p_i}[\psi^T(t)B^TW^V]
=\mathbb{E}_{p_i}[\psi^T(t)]B^TW^V.
\]

当我们取$\psi$为高斯径向基函数的时候, 上述是由显示解的.

现在来剖析一下, 好在哪里?

原本的$K$是$L\times d$的, 现在由于我们只需要计算$B^TW$, 故实际上只有$N \times d$, 我们可以选取很大的$L$但是选择较小的$N$来避免较高的复杂度.

如何扩展?

难不成每一次都要重新计算$B$? 倘若真的是这样就谈不上是长期记忆了.

作者采取了一种比较巧的方法, 实际上, 现在的$B\psi(t)$可以看成是一个$d$维的向量函数.

我们首先将其进行压缩至$[0, \tau], \tau \in (0, 1)$:

\[B\psi(t /\tau),
\]

如此一来, 整个函数的能量集中在$[0, \tau]$中, 我们可以用剩下的$(\tau, 1]$来放置新的$X$.

我们首先从$[0, \tau]$中采样$M$个点$t_0, \cdots, t_{M-1}$, 并得到:

\[X_{past} = [x_0, \cdots, x_{M-1}]^T \in \mathbb{R}^{M \times d}, x_m=\psi^T(t_m/\tau)B^T.
\]

加上新的$X_{new}$, 我们有

\[X = [X_{past}^T, X_{new}^T]^T \in \mathbb{R}^{(M + L) \times d},
\]

对$X$按照上面的逻辑重新估计$B$即可更新记忆.

关于如何采样这$M$个点, 作者提了一种sticky memories的方法, 将其与密度函数联系在一起, 便不细讲了.

实验细节

在看这篇论文的时候, 困扰我的就是这个径向基函数是怎么选的?

举一个作者在Language Modeling中的例子便可:

选取150个高斯径向基函数$\mathcal{N}(t;\mu, \sigma^2)$, 其中

$\mu$从$[0, 1]$中均匀采样, $\sigma \in \{0.01, 0.05\}$.

还有用KL散度防止一般化就不讲了. 感觉本文有趣的点就是压缩这个地方, 还有对$\Psi$的处理.

巴特西

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