最小割树(Gomory-Hu Tree)

2024-10-09 06:51:00

当我们遇到这样的问题：

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图，多次询问两点之间的最小割

我们通常要用到最小割树。

博客

建树

分治。记录当前点集，然后随便找俩点当 \(s\) 和 \(t\)，跑一遍最小割，然后在“最小割树”上把 \(s\) 和 \(t\) 连边，并且根据“属于s的点”还是“属于t的点”将当前点集分为两部分，直到当前点集大小为1为止。

性质

最小割树上的边 \((u, v)\)，其权值为原图中 \(u\) 到 \(v\) 的最小割，断开最小割树上的 \((u, v)\)，分成的两个连通块分别是原图中跑完最小割后“属于 \(u\) 的点”和“属于 \(v\) 的点”。
原图中 \(u\) 到 \(v\) 的最小割等于最小割树上 \(u\) 到 \(v\) 的最小边权。

容易感性理解。具体证明见：博客

例题

受实力限制，我只做过一些比较水的最小割树的题。最小割树还需深刻理解。

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