题解 P4302 【[SCOI2003]字符串折叠】

讲讲我的做法

题目大意：对一个字符串进行折叠是它长度最小

看一眼数据范围：哇！字符串长度不超过100！这是一道省选题，不可能给你太宽裕的时限，所以，题目基本暗示你要用\(n^{3}\)多一些的算法复杂度。

这是一道最优化的题目，常见求最优化问题的算法比如贪心，模拟，枚举我都想不出什么好办法，唯独觉得像一道区间\(dp\)

区间\(dp\)的分析

解释状态

我们用\(f[i][j]\)表示\(i\)到\(j\)这个区间内最小的长度

首先，我们可以把\(i\)~\(j\)这个区间的字符串拆成2部分处理

就有了这段代码：

for(int l=2;l<=n;l++)

	for(int i=1,j=i+l-1;j<=n;i++,j++)

		for(int k=i;k<j;k++)

			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);

当然我用了字符串，然后加空格，这样更加符合人脑思维

也有同学喜欢用字符数组，我也写了这样的一段代码

for(int l=2;l<=n;l++){

    for(int i=0,j=i+len-1;j<n;i++,j++){

        for(int k=i;k<j;k++)

			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);

    }

}

折叠

至于如何判断能否折叠，我呢用了一个函数——\(check\)，来检查一下是否可以折叠

字符串代码：

bool check(int l,int r,int len){

    for(int i=l;i<=r;i++)

        if(st[i]!=st[(i-l)%len+l])return false;

    return true;

}

字符数组代码

bool check(char s[],int n,int len){

    for(int i=len;i<n;i++)

        if(s[i]!=s[i%len])return false;

    return true;

}

判断好了是否可以折叠，我们就可以去写状态了，从\(i\)~\(j\),判断区间折叠的循环节

字符串代码

for(int l=2;l<=n;l++){

    for(int i=1,j=i+l-1;j<=n;i++,j++){

        for(int k=i;k<j;k++)

			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);

        for(int k=i;k<j;k++){

            int len=k-i+1;

            if(l%len!=0)continue;

            if(check(i,j,len))f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+2+m[l/len]);

        }

    }

}

字符数组代码

for(int l=2;l<=n;l++){

    for(int i=1,j=i+l-1;j<n;i++,j++){

        for(int k=i;k<j;k++)

			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);

        for(int k=i;k<j;k++){

            int len=k-i+1;

            if(l%len!=0)continue;

            if(check(s+i,l,len))f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+2+m[l/len]);

        }

    }

}

边界条件以及初始化

刚刚的代码里出现里\(m\)，现在我就来解释一下\(m\)数组是干什么的

\(m[i]\)的值表示的是i的位数，因为字符串的长度跟数字的位数有关

提到了\(m\)数组的左右自然由于提及如何用代码实现

我用的是最简单的方法，\(for\)循环扫，注意：100也要赋值，万一数据给你100个同样的字符

for(int i=1;i<=9;i++)m[i]=1;

for(int i=10;i<=99;i++)m[i]=2;

m[100]=3;

现在我们想一想初始化怎么做？

显然，\(f[i][i]=1\)，如何数组的初值要设为\(INF\)

memset(f,0x3f,sizeof(f));

for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=1;

现在我们已经做完了所有的步骤，让我们看一看完整代码吧

字符串代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

string st;

int n,m[110],f[110][110];

bool check(int l,int r,int len){

    for(int i=l;i<=r;i++)

        if(st[i]!=st[(i-l)%len+l])return false;

    return true;

}

int main(){

	cin>>st;

    n=st.size();

    st=' '+st;

    for(int i=1;i<=9;i++)m[i]=1;

    for(int i=10;i<=99;i++)m[i]=2;

    m[100]=3;

    memset(f,0x3f,sizeof(f));

    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=1;

    for(int l=2;l<=n;l++){

        for(int i=1,j=i+l-1;j<=n;i++,j++){

            for(int k=i;k<j;k++)

				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);

            for(int k=i;k<j;k++){

                int len=k-i+1;

                if(l%len!=0)continue;

                if(check(i,j,len))f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+2+m[l/len]);

            }

        }

    }

    printf("%d",f[1][n]);

    return 0;

}

字符数组代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

char s[110];

int n,m[110],f[110][110];

bool check(char s[],int n,int len){

    for(int i=len;i<n;i++)

        if(s[i]!=s[i%len])return false;

    return true;

}

int main(){

    scanf("%s",s);

    n=strlen(s);

    for(int i=1;i<=9;i++)m[i]=1;

    for(int i=10;i<=99;i++)m[i]=2;

    m[100]=3;

    memset(f,0x3f,sizeof(f));

    for(int i=0;i<n;i++)f[i][i]=1;

    for(int l=2;l<=n;l++){

        for(int i=1,j=i+l-1;j<n;i++,j++){

            for(int k=i;k<j;k++)

				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);

            for(int k=i;k<j;k++){

                int len=k-i+1;

                if(l%len!=0)continue;

                if(check(s+i,l,len))f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+2+m[l/len]);

            }

        }

    }

    printf("%d",f[0][n-1]);

    return 0;

}

时间复杂度

看上去我们连续套了4个循环，然而真的时间复杂度就达到了\(n^{4}\)吗？其实不是的

首先\(n^{3}\)是肯定要的，那么为什么时间复杂度没有达到\(n^{4}\)呢！

原因在于我们的continue剪枝，它能够给这个\(n^{4}\)的复杂度加上一个\(log\)

为什么？

我们要check的显然是\(l\)的因数，然而\(l\)的因数个数\(\approx\) \(\log{l}\)

现实当中的复杂度还会更小，因为\(check\)的复杂度没有到\(O(n)\)，它不是从头开始，没有到头结束，并且一旦发现错误后会直接\(return\)

其实可以把里面的2个循环并成一个循环，但为了让大家看的更清楚，就不演示了

巴特西

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区间\(dp\)的分析

解释状态

折叠

边界条件以及初始化

现在我们已经做完了所有的步骤，让我们看一看完整代码吧

时间复杂度

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