【动态规划】bzoj2298: [HAOI2011]problem a
建模超级妙……
Description
Input
第一行一个整数n,接下来n行每行两个整数,第i+1行的两个整数分别代表ai、bi
Output
一个整数,表示最少有几个人说谎
Sample Input
2 0
0 2
2 2
Sample Output
HINT
100%的数据满足: 1≤n≤100000 0≤ai、bi≤n
题目分析
一开始真的真的没看出来是个dp……
口胡做法
口胡了一个做法:给每一个人确定一个排名(若分数相同那么排名相同),然后用一些神奇的方法去考虑这些排名是否不互相矛盾。还考虑了一下不矛盾性可不可以递移(最近学了tarjan所以看什么都是图论)……然而发现并不可做。
正经做法
如果考虑分数相同的问题,那么每一个人的排名其实可以看做一个区间$[l,r]=[a_i+1,n-b_i]$。首先考虑哪些话必假:1.$l>r$;2.排名区间为$[l,r]$的个数大于$r-l+1$,此时$[l,r]$只能有$r-l+1$个。又因为答案不要求输出方案,所以只需要取够$r-l+1$就行了,而不用管到底取了哪些区间。
把每一个人都映射成区间之后,我们来观察一下很多相同区间的情况。也就是说,有很多人的排名相同的情况。
可以发现他们是互不影响的。比如我说我排名是$[1,5]$里的,你说你也是$[1,5]$里的,那么我和你的话是不冲突的。可以同时认定我们说的话是真话并且对于其他的选择来说没有干扰————既然这样,何不把$v$个区间$[l,r]$再次映射成一条有权值$v$的线段呢?这里线段的权值代表:认同“$[l,r]$这段区间里的人分数相同”是真话所能够获得的人数。
于是问题就转化为了:
有若干条带权值的线段$[l,r]$,要求选出互不重叠的一些,使得所选线段权值和最大。
这样就是dp问题了。
正经做法的疑问?
但是这样如何能够保证:选了的$[l,r]$是合法的?
换而言之,“$[l,r]$这段区间里的人分数相同”这句话如果要成立,那么不仅仅是要求有那么一两个人说自己在这个区间里,还要求总共有$r-l+1$个人都是在这个区间里。
嘛,我们还有那些说假话的人么。所以只要把他们安排在需要人的地方就行了。
但是如何保证说假话的人足够多,以至于能够满足我们钦定的真话呢?
这样想似乎非常抽象并且非常复杂,但实际上形象一点理解就很自然了。这里陈述两个基本事实:
- 每一个人无论说了真话还是假话最终都会有一个排名
- 每一个人说的话占的排名最多长度为$n$
那么所有钦定的真话最长也就只有$n$,因为钦定的话不会互相重叠。又因为说话的人自己会算作一次,所以一定是够填的。
注意
还有注意就是,那个dp时候用的是$lower\_bound$……突然脑抽用了$upper\_bound-1$发现只有90……
#include<bits/stdc++.h>
typedef std::pair<int, int> pr;
const int maxn = ; struct seg
{
int l,r,v;
bool operator < (seg a) const
{
return r < a.r;
}
seg(int a=, int b=, int c=):l(a),r(b),v(c) {}
}a[maxn];
int n,f[maxn],d[maxn],tot;
std::map<pr, int> mp; int read()
{
char ch = getchar();
int num = ;
bool fl = ;
for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
if (ch=='-') fl = ;
for (; isdigit(ch); ch = getchar())
num = (num<<)+(num<<)+ch-;
if (fl) num = -num;
return num;
}
int main()
{
n = read();
for (int i=; i<=n; i++)
{
int ax = read(), bx = read();
int l = ax+, r = n-bx;
if (l > r) continue;
pr tt = std::make_pair(l, r);
if (mp[tt]==r-l+) continue;
if (!mp[tt])
a[++tot] = seg(l, r, );
mp[tt]++;
}
for (int i=; i<=tot; i++)
a[i] = seg(a[i].l, a[i].r, mp[std::make_pair(a[i].l, a[i].r)]);
std::sort(a+, a+tot+);
for (int i=; i<=tot; i++) d[i] = a[i].r;
for (int i=; i<=tot; i++)
{
int tt = std::lower_bound(d+, d+i, a[i].l)-d-;
f[i] = std::max(f[i-], f[tt]+a[i].v);
}
printf("%d\n",n-f[tot]);
return ;
}
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