费用流（bzoj 3130）

Description

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。

上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。

Input

第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。

Output

第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

Sample Input

3 2 1
1 2 10
2 3 15

Sample Output

10
10.0000

HINT

【样例说明】

对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。

对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用

为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。

【数据规模和约定】

对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。

对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。

对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流

量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。

/*

    可以知道，最后P一定分配在最大的容量的那条边，那么就要使最大容量最小，二分答案。

*/

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<queue>

#include<cstring>

#include<cmath>

#define inf 1000000000

#define N 2010

#define eps 0.0001

using namespace std;

int head[N],dis[N],n,m,p,cnt=,S,T;int q[N];

struct node{int v,pre;double f;}e[N*];

struct Node{int u,v,w;}road[N*];

void add(int u,int v,double f){

    e[++cnt].v=v;e[cnt].f=f;e[cnt].pre=head[u];head[u]=cnt;

    e[++cnt].v=u;e[cnt].f=;e[cnt].pre=head[v];head[v]=cnt;

}

bool bfs(){

    memset(dis,-,sizeof(dis));

    queue<int>q;q.push(S);dis[S]=;

    while(!q.empty()){

        int u=q.front();q.pop();

        for(int i=head[u];i;i=e[i].pre)

            if(e[i].f>&&dis[e[i].v]==-){

                dis[e[i].v]=dis[u]+;

                q.push(e[i].v);

                if(e[i].v==T) return true;

            }

    }

    return dis[T]!=-;

}

double dinic(int x,double f){

    if(x==T)return f;

    double rest=f;

    for(int i=head[x];i;i=e[i].pre){

        if(e[i].f&&dis[e[i].v]==dis[x]+){

            double t=dinic(e[i].v,min(rest,e[i].f));

            if(!t) dis[e[i].v]=-;

            e[i].f-=t;

            e[i^].f+=t;

            rest-=t;

        }

    }

    return f-rest;

}

double work(double mid){

    memset(head,,sizeof(head));

    cnt=;double maxflow=;

    for(int i=;i<=m;i++)

        add(road[i].u,road[i].v,min((double)road[i].w,mid));

    while(bfs())

        maxflow+=dinic(S,inf);

    return maxflow;

}

int main(){

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);

    S=;T=n;double maxf=;

    for(int i=;i<=m;i++){

        scanf("%d%d%d",&road[i].u,&road[i].v,&road[i].w);

        maxf=max(maxf,(double)road[i].w);

    }

    double maxflow=work(maxf);

    printf("%d\n",(int)maxflow);

    double l=,r=maxf,ans=r;

    while(r-l>eps){

        double mid=(l+r)/2.0;

        if(fabs(work(mid)-maxflow)<eps)

            r=mid,ans=mid;

        else l=mid;

    }

    printf("%.4lf",ans*(double)p);

    return ;

}

巴特西