ACM_01背包2
2024-09-02 14:05:43
背包4
Time Limit: 2000/1000ms (Java/Others)
Problem Description:
有n个重量和价值分别为Wi,Vi的物品,现从这些物品中挑选出总量不超过W的物品,求所有方案中价值总和的最大值。
Input:
输入包含多组测试用例,每一例的开头为两位整数 n、W;接下来有 n 行,每一行有两位整数 Wi、Vi
其中:
1<=n<=100
1<=W<=1000,000,000(10^9)
1<=Wi<=10,000,000(10^7)
1<=Vi<=100。
Output:
输出为一行,即所有方案中价值总和的最大值。
Sample Input:
4 5
2 3
1 2
3 4
2 2
4 10000000
2 3
2 2
3 3
1 2
Sample Output:
7
10
解题思路:相比01背包,这题只是修改了限制条件的大小,此前求解这一问题的时间复杂度是O(nW),但是对于这一问题,W最大为10^9,显然使用之前的方法会超时。但是可以发现,相比较重量而言,价值的范围比较小,因此换种角度可以解决此题。之前的方法中,dp[j]是求解当前重量j不超过总重量W下的最大价值,而这次的dp[i][j]表示从前i个物品中挑选价值总和为j(从0开始枚举)时总重量的最小值(不存在时就是一个充分大的INF)。因此最终的答案就对应于令dp[n][i]<=W的最大的i(i从总价值V~0枚举)。
二维数组状态转移方程:dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])。
一维数组状态转移方程:dp[j]=min(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])(j:V~v[i])。
AC代码一:二维数组实现。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,W,V,w[],v[],dp[][];
int main(){
while(cin>>n>>W){
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
V=,dp[][]=;//从前0个物品挑选出价值总和为0的最小重量为0
for(int i=;i<=n;++i)
cin>>w[i]>>v[i],V+=v[i];
for(int i=;i<=n;++i){
for(int j=;j<=V;++j){
if(j<v[i])dp[i][j]=dp[i-][j];
else dp[i][j]=min(dp[i-][j],dp[i-][j-v[i]]+w[i]);
}
}
for(int i=V;i>=;--i)//找最大价值的物品且得放进重量为W的背包里面
if(dp[n][i]<=W){cout<<i<<endl;break;}
}
return ;
}
AC代码二:一维数组实现。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,W,V,w[],v[],dp[];
int main(){
while(cin>>n>>W){
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));//初始化为无穷
V=,dp[]=;//价值总和为0的最小重量为0
for(int i=;i<=n;++i)
cin>>w[i]>>v[i],V+=v[i];//累加价值
for(int i=;i<=n;++i)
for(int j=V;j>=v[i];--j)
dp[j]=min(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
for(int i=V;i>=;--i)//找最大价值的物品且得放进重量为W的背包里面
if(dp[i]<=W){cout<<i<<endl;break;}
}
return ;
}
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