.net core(c#)拟合圆测试

说明

很多时候，我们需要运动物体的转弯半径去描述其机器性能。但在大多数的现实条件下，我们只能够获取到运动物体的 GPS 位置点集，并不能直接得到转弯半径或者圆心位置。为此，我们可以利用拟合圆的方式得到圆坐标方程，由此得到转弯半径和圆心位置。

解决过程

关于拟合圆方程的方法有很多，曾经在这篇译文中获益良多代数逼近法、最小二乘法、正交距离回归法来拟合圆及其结果对比（Python）。此系列文中也给出了提及的三种方法的性能及效果对比，最终得出最优的解决方案就是最小二乘法。由于最近的学习中又进一步了解到，可以利用线性代数的方法去求解。本着大学课程中曾学过的《线性代数》知识，所以想着用此方法再加以解决该问题，以作最对比。

接下来，本文就最小二乘法和线性代数的方法求取圆方程作一论述。

准备

引用矩阵计算库MathNet.Numerics。该库是一个强大的科学计算库，遵循 .Net Standard，所以可以跨平台使用。

创建描述圆的类

public class Circle

{

    /// <summary>

    /// 圆心横坐标

    /// </summary>

    /// <value></value>

    public   double X { get; set; }

    /// <summary>

    /// 圆心纵坐标

    /// </summary>

    /// <value></value>

    public   double Y { get; set; }

    /// <summary>

    /// 圆半径

    /// </summary>

    /// <value></value>

    public  double R { get; set; }

}

画图，引用System.Drawing.Common库，以实现跨平台的图像生成。接下来，我们简单的实现一个图像帮助类来进行图像绘制。

public class ImageHelp

{

    private Image _image;

    public ImageHelp(int width, int height)

    {

        _image = new Bitmap(width, height);

        var graph = Graphics.FromImage(_image);

        graph.Clear(Color.White);

    }

    public void DrawCicle(Circle circle, Brush brush)

    {

        var graph = Graphics.FromImage(_image);

        var count=200;

        var fitPoints = new Point[count+1];

        var step = 2 * Math.PI / count;

        for (int i = 0; i < count; i++)

        {

            //circle

            var p = new Point();

            p.X = (int)(circle.X + Math.Cos(i * step) * circle.R);

            p.Y = (int)(circle.Y + Math.Sin(i * step) * circle.R);

            fitPoints[i] = p;

        }

        fitPoints[count] = fitPoints[0];//闭合圆

        graph.DrawLines(new Pen(brush, 2), fitPoints);

        graph.Dispose();

    }

    public void DrawPoints(double[] X, double[] Y, Brush brush)

    {

        var graph = Graphics.FromImage(_image);

        for (int i = 0; i < X.Length; i++)

        {

            graph.DrawEllipse(new Pen(brush, 2), (int)X[i], (int)Y[i], 6, 6);

        }

        graph.Dispose();

    }

    public void SaveImage(string file)

    {

        _image.Save(file, System.Drawing.Imaging.ImageFormat.Png);

    }

}

模拟点集，由于现实中的数据采集存在着精度、数据记录等众多不确定因素的影像。模拟点集中也将加入一定程度的噪音。以下代码中 x 与 y 中存储着我们的点集数据：

var count = 50;

var step = 2 * Math.PI / 100;

var rd = new Random();

//参照圆

var x0 = 204.1;

var y0 = 213.1;

var r0 = 98.4;

//噪音绝对差

var diff = (int)(r0 * 0.1);

var x = new double[count];

var y = new double[count];

//输出点集

for (int i = 0; i < count; i++)

{

    //circle

    x[i] = x0 + Math.Cos(i * step) * r0;

    y[i] = y0 + Math.Sin(i * step) * r0;

    //noise

    x[i] += Math.Cos(rd.Next() % 2 * Math.PI) * rd.Next(diff);

    y[i] += Math.Cos(rd.Next() % 2 * Math.PI) * rd.Next(diff);

}

最小二乘法

网上有很多的原理解析，上文中提到的译文中也有提及，这里不在过多赘述。直接贴出 c#代码实现：

public Circle LeastSquaresFit(double[] X, double[] Y)

{

    if (X.Length < 3)

    {

        return null;

    }

    double cent_x = 0.0,

        cent_y = 0.0,

        radius = 0.0;

    double sum_x = 0.0f, sum_y = 0.0f;

    double sum_x2 = 0.0f, sum_y2 = 0.0f;

    double sum_x3 = 0.0f, sum_y3 = 0.0f;

    double sum_xy = 0.0f, sum_x1y2 = 0.0f, sum_x2y1 = 0.0f;

    int N = X.Length;

    double x, y, x2, y2;

    for (int i = 0; i < N; i++)

    {

        x = X[i];

        y = Y[i];

        x2 = x * x;

        y2 = y * y;

        sum_x += x;

        sum_y += y;

        sum_x2 += x2;

        sum_y2 += y2;

        sum_x3 += x2 * x;

        sum_y3 += y2 * y;

        sum_xy += x * y;

        sum_x1y2 += x * y2;

        sum_x2y1 += x2 * y;

    }

    double C, D, E, G, H;

    double a, b, c;

    C = N * sum_x2 - sum_x * sum_x;

    D = N * sum_xy - sum_x * sum_y;

    E = N * sum_x3 + N * sum_x1y2 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_x;

    G = N * sum_y2 - sum_y * sum_y;

    H = N * sum_x2y1 + N * sum_y3 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_y;

    a = (H * D - E * G) / (C * G - D * D);

    b = (H * C - E * D) / (D * D - G * C);

    c = -(a * sum_x + b * sum_y + sum_x2 + sum_y2) / N;

    cent_x = a / (-2);

    cent_y = b / (-2);

    radius = Math.Sqrt(a * a + b * b - 4 * c) / 2;

    var result = new Circle();

    result.X = cent_x;

    result.Y = cent_y;

    result.R = radius;

    return result;

}

线性代数

从标准圆方程(x-c1)^2+(y-c2)^2=r^2中进行方程变换得到2xc1+2yc2+(r^2−c1^2−c2^2)=x^2+y^2，其中，我们c3替换常量值r^2−c1^2−c2^2，即：r^2−c1^2−c2^2=c3。由此，我们得到2xc1+2yc2+c3=x^2+y^2，将点集带入，方程就只剩三个未知数`c1,c2 和 c3。

简单起见，假设我们有四个点{[0,5],[0,-5],[5,0],[-5,0]},代入方程可得到四个方程：

  0c1 + 10c2 + c3 = 25

  0c1 - 10c2 + c3 = 25

 10c1 + 0c2  + c3 = 25

-10c1 + 0c2  + c3 = 25

该方程组比较简单，一眼便能看出解。但用线性代数我们可以得到矩阵：

/***************************A**********B******C*/

|  0c1  10c2   1c3|   |  0  10   1|   |c1|   |25|

|  0c1 -10c2   1c3| = |  0 -10   1| * |c2| = |25|

| 10c1   0c2   1c3|   | 10   0   1|   |c3|   |25|

|-10c1   0c2   1c3|   |-10   0   1|          |25|

在矩阵方程中A*B=C，只需求出矩阵B即可得到方程组的解。c#中MathNet.Numerics可以轻松胜任这一工作：

public Circle LinearAlgebraFit(double[] X, double[] Y)

{

    if (X.Length < 3)

    {

        return null;

    }

    var count = X.Length;

    var a = new double[count, 3];

    var c = new double[count, 1];

    for (int i = 0; i < count; i++)

    {

        //matrix

        a[i, 0] = 2 * X[i];

        a[i, 1] = 2 * Y[i];

        a[i, 2] = 1;

        c[i, 0] = X[i] * X[i] + Y[i] * Y[i];

    }

    var A = DenseMatrix.OfArray(a);

    var C = DenseMatrix.OfArray(c);

    //A*B=C

    var B = A.Solve(C);

    double c1 = B.At(0, 0),

        c2 = B.At(1, 0),

        r = Math.Sqrt(B.At(2, 0) + c1 * c1 + c2 * c2);

    var result = new Circle();

    result.X = c1;

    result.Y = c2;

    result.R = r;

    return result;

}

最后总结

Console.WriteLine($"raw   c1:{x0}, c2:{y0}, r:{r0}");

var fit = new FitCircle();

var sth = new Stopwatch();

sth.Start();

var lsf = fit.LeastSquaresFit(x, y);![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1214143/201908/1214143-20190804173821455-1022769486.jpg)

Console.WriteLine($"LeastSquaresFit   c1:{lsf.X}, c2:{lsf.Y}, r:{lsf.R}, time:{sth.Elapsed}");

sth.Restart();

var laf = fit.LinearAlgebraFit(x, y);

Console.WriteLine($"LinearAlgebraFit  c1:{laf.X}, c2:{laf.Y}, r:{laf.R}, time:{sth.Elapsed}");

var img = new ImageHelp(512, 512);

img.DrawPoints(x, y, Brushes.Red);

img.DrawCicle(lsf, Brushes.Green);

img.DrawCicle(laf, Brushes.Orange);

img.SaveImage("graph.jpeg");

控制台输出：

raw   c1:204.1, c2:213.1, r:98.4

LeastSquaresFit   c1:204.791071061878, c2:210.86075318831, r:100.436594821545, time:00:00:00.0011029

LinearAlgebraFit  c1:204.791071061878, c2:210.860753188315, r:100.436594821541, time:00:00:00.1691119

从结果中可以看出，两种方法的结果基本一样，在小数点后好几位才出现差别。但是其计算效率却差异巨大，最小二乘法比线性代数快上 100 多倍。

在图中,二者重合（绿色被后面的橙色覆盖）。

在最小二乘法中，只有一个及其简单的 for 循环，很少涉及内存写。但在线性代数中，需要进行矩阵的生成DenseMatrix.OfArray，以及矩阵运算，这二者都需要内存写。再者，矩阵计算有着繁重的计算量，这些都在影响着线性代数拟合圆的效率。最终的胜利还是属于最小二乘法。

巴特西

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最小二乘法

线性代数

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