P3813 [FJOI2017]矩阵填数
2024-09-04 16:54:50
矩阵很大,但是发现 $n$ 很小,从这边考虑,对于一个一堆小矩阵放在一起的情况
考虑把每一块单独考虑然后方案再乘起来
但是这些奇怪的东西很不好考虑
所以暴力一点,直接拆成一个个小块
但是这样我们还要考虑到小矩形的限制,设 $f[i][S]$ 表示现在考虑完第 $i$ 个小块,小矩形的限制满足的状态为 $S$ 时的方案数
发现这些小块不会跨过矩形,维护每个小块的限制(即这个块能填的最大的数)$Mx$,以及这个小块填最大数时,能使哪些小矩形满足限制 ($P$)
设小块的面积为 $S$,那么如果下一小矩形不填最大数,则转移到 $f[i+1][S]$,贡献方案数为 $(Mx[i+1]-1)^{S[i+1]}$
如果下一小矩形填最大数,则转移到 $f[i+1][S|P[i+1]]$,贡献为总方案数-不填最大数的方案数$Mx[i+1]^{S[i+1]}\ -\ (Mx[i+1]-1)^{S[i+1]}$
然后就是奇奇怪怪的离散化和预处理了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
int x=,f=; char ch=getchar();
while(ch<''||ch>'') { if(ch=='-') f=-; ch=getchar(); }
while(ch>=''&&ch<='') { x=(x<<)+(x<<)+(ch^); ch=getchar(); }
return x*f;
}
const int N=,mo=1e9+;
int T,h,w,n,m;
int X1[N],X2[N],Y1[N],Y2[N],v[N];
int xp[N],yp[N],tx,ty,tot;
int tmp[N],t;
int f[N][N],S[N],Mx[N],P[N];
inline bool pd(int x,int y,int k) { return x>=X1[k]&&x<=X2[k]&&y>=Y1[k]&&y<=Y2[k]; }
//判断以(x,y)右上角的小块是否在矩形k中,因为离散化后小块不可能跨过矩形所以可以这样判断
inline int ksm(int x,int y)
{
int res=;
while(y)
{
if(y&) res=1ll*res*x%mo;
x=1ll*x*x%mo; y>>=;
}
return res;
}
int main()
{
//以下默认往右为大,往上为大
T=read();
while(T--)
{
memset(f,,sizeof(f)); memset(P,,sizeof(P));
xp[tx=]=; yp[ty=]=; tot=;
h=read(),w=read(),m=read(),n=read();
for(int i=;i<=n;i++)
{
X1[i]=read(),Y1[i]=read(),X2[i]=read(),Y2[i]=read(),v[i]=read();
xp[++tx]=X1[i]-,yp[++ty]=Y1[i]-;//注意-1,边界很重要,左下弄成开区间很重要!
xp[++tx]=X2[i],yp[++ty]=Y2[i];
}
xp[++tx]=h; yp[++ty]=w;
sort(xp+,xp+tx+); sort(yp+,yp+ty+);
for(int i=;i<=tx;i++) tmp[i]=xp[i]; t=tx; tx=;
for(int i=;i<=t;i++) if(i==||tmp[i]!=tmp[i-]) xp[++tx]=tmp[i];//离散化
for(int i=;i<=ty;i++) tmp[i]=yp[i]; t=ty; ty=;
for(int i=;i<=t;i++) if(i==||tmp[i]!=tmp[i-]) yp[++ty]=tmp[i];//离散化
for(int i=;i<=tx;i++)
for(int j=;j<=ty;j++)
{
tot++; Mx[tot]=m;
S[tot]=(xp[i]-xp[i-])*(yp[j]-yp[j-]);//小的边界是不包含的,即区间是左开右闭的,下开上闭的
for(int k=;k<=n;k++)
if(pd(xp[i],yp[j],k)) Mx[tot]=min(Mx[tot],v[k]);//处理Mx
for(int k=;k<=n;k++)
if(pd(xp[i],yp[j],k) && Mx[tot]==v[k])//处理P
P[tot]|=(<<k-);
}
int mx=(<<n)-; f[][]=;//DP
for(int i=;i<tot;i++)
{
int t1=ksm(Mx[i+]-,S[i+]),t2=(ksm(Mx[i+],S[i+])-t1+mo)%mo;
for(int j=;j<=mx;j++)
{
if(!f[i][j]) continue;
f[i+][j|P[i+]]=(f[i+][j|P[i+]]+1ll*f[i][j]*t2%mo)%mo;//此块填最大数
f[i+][j]=(f[i+][j]+1ll*f[i][j]*t1%mo)%mo;//此块不填最大数
}
}
printf("%d\n",f[tot][mx]);
}
}
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