DAG上的DP

引例：NYOJ16

矩形嵌套

时间限制：3000 ms | 内存限制：65535 KB

难度：4

描述

有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

输入

第一行是一个正正数N(0<N<10)，表示测试数据组数，
每组测试数据的第一行是一个正正数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)
随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽

输出

每组测试数据都输出一个数，表示最多符合条件的矩形数目，每组输出占一行

样例输入

样例输出

5

我们可以这样建模：将每个矩形视作一个结点，若矩形A能覆盖矩形B，那么就在作一条结点A指向结点B的有向路径，结果我们会得到一个DAG（有向无环图）。求符合条件的最多矩形数目，就是DAG中最长路径上的结点数目。
求DAG上的最长路径上的结点数目，我们可用记忆化搜索求解，（同poj1088滑雪）
代码如下:

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<vector>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAXN=;

vector<int> G[MAXN];

int V,E;

int d[MAXN];

int dfs(int u)

{

    if(d[u]>)    return d[u];

    int ans=;

    for(int i=;i<G[u].size();i++)

    {

        ans=max(ans,dfs(G[u][i])+);

    }

    return d[u]=ans;

}

int main()

{

    memset(d,,sizeof(d));

    scanf("%d%d",&V,&E);

    for(int i=;i<E;i++)

    {

        int u,v;

        scanf("%d%d",&u,&v);

        G[u].push_back(v);

    }

    int ans=;

    for(int i=;i<=V;i++)

        ans=max(ans,dfs(i));

    printf("%d\n",ans+);

    return ;

}

/*

7 8

1 2

1 3

3 2

2 4

2 5

4 6

6 5

5 7

7

*/

这样矩形覆盖问题就迎刃而解。

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<vector>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAXN=;

vector<int> G[MAXN];

struct Rect{

    int x,y;

}rect[MAXN];

int n;

void createG()

{

    for(int i=;i<=n;i++)

        for(int j=;j<=n;j++)

            if((rect[i].x<rect[j].x&&rect[i].y<rect[j].y)||(rect[i].y<rect[j].x&&rect[i].x<rect[j].y))

            {

                G[j].push_back(i);

            }

}

int d[MAXN];

int dfs(int u)

{

    if(d[u]>)    return d[u];

    int ans=;

    for(int i=;i<G[u].size();i++)

        ans=max(ans,dfs(G[u][i])+);

    return d[u]=ans;

}

int main()

{

    int T;

    scanf("%d",&T);

    while(T--)

    {

        scanf("%d",&n);

        for(int i=;i<=n;i++)

        {

            G[i].clear();

            scanf("%d%d",&rect[i].x,&rect[i].y);

        }

        createG();

        memset(d,,sizeof(d));

        int ans=;

        for(int i=;i<=n;i++)

            ans=max(ans,dfs(i));

        printf("%d\n",ans+);

    }

    return ;

}

该问题也可以转化为最长上升子序列问题求解。

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int INF=;

struct Rect{

    int x,y;

}rect[];

int n;

bool comp(const Rect &a,const Rect &b)

{

    if(a.x==b.x)    return a.y > b.y;//µ±±ß³¤ÏàÍ¬Ê±ÓÐ´óµ½Ð¡ÅÅÐò

    else return a.x < b.x;

}

int dp[];

int main()

{

    int T;

    scanf("%d",&T);

    while(T--)

    {

        scanf("%d",&n);

        for(int i=;i<n;i++)

        {

            scanf("%d%d",&rect[i].x,&rect[i].y);

            dp[i]=INF;

        }

        sort(rect,rect+n,comp);

        for(int i=;i<n;i++)

            *lower_bound(dp,dp+n,rect[i].y)=rect[i].y;

        printf("%d\n",lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp);

    }    

    return ;

}

巴特西

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