HDU 2276 Kiki & Little Kiki 2（ 矩阵快速幂 + 循环同构矩阵 ）
2024-08-31 11:39:40
蒟蒻的我还需深入学习
**链接：****传送门 **
题意：给出一个长度为 n，n 不超过100的 01 串 s ，每当一个数字左侧为 1 时（ 0的左侧是 n-1 ），这个数字就会发生改变，整个串改变一次需要 1s ，询问 M s 后此串变为什么样子，例如 0101111 ，1s 后变为 1111000
思路：
根据题意可以得到这样一个规律 s[ i ] = ( s[ i - 1 ] + s[ i ] ) % 2，特别的 s[ 0 ] = ( s[ n-1 ] + s[ 0 ] ) % 2 （ s[ ] 不再考虑为char ），构造矩阵a、b、ans
- 假设 01 串长为 5，下图为矩阵a
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 - 矩阵b
s0 0 0 0 0 s1 0 0 0 0 s2 0 0 0 0 s3 0 0 0 0 s4 0 0 0 0 - 矩阵 ans
s0 0 0 0 0 s1 0 0 0 0 s2 0 0 0 0 s3 0 0 0 0 s4 0 0 0 0 - 矩阵 ans = a * b，假设经过 Ms 后矩阵 ans = pow( a, M ) * b，此时的 b 中的 s[ ] 为起始的 01 串，所以通过矩阵快速幂就可以解决了
解决此题的三种姿势
1.普通矩阵快速幂，经过上面分析很容易写出该方法对应的程序
2.循环同构矩阵优化矩阵快速幂，经上面分析可以看出矩阵 a 为典型的循环同构矩阵，（ 什么是循环矩阵？**戳这里！ ** ）对于循环同构矩阵可以先算出来第 0 行然后递推下面的剩余行，从而将计算 pow( a , n ) 的复杂度 O( n ^ 3 ) 降为 O( n ^ 2 )，需要注意的时，这种方法应该只能用来优化同构矩阵的计算，如果是一个同构矩阵 × 其他矩阵，递推剩下行数是错误的！这道题不会卡复杂度......
3.循环同构矩阵优化矩阵快速幂 + 位运算，可以把矩阵乘法中的 * 换成 & ， % 2 换成 ^（XOR）
姿势1：
/*************************************************************************
> File Name: hdu2276.cpp
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> Created Time: 2017年05月04日 星期四 14时32分45秒
************************************************************************/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,len;
string s;
const int MOD = 2;
const int maxn = 110;
#define ll long long
#define mod(x) ((x)%MOD)
#define cls(x) memset(x,0,sizeof(x));
struct mat{
int m[maxn][maxn];
}unit;
void init_unit(){
for(int i=0;i<maxn;i++) unit.m[i][i] = 1;
}
mat operator *(mat a,mat b){
mat ret;
ll x;
for(int i=0;i<len;i++){
for(int j=0;j<len;j++){
x = 0;
for(int k=0;k<len;k++)
x += mod( a.m[i][k]*b.m[k][j] );
ret.m[i][j] = mod(x);
}
}
return ret;
}
mat pow_mat(mat a,int x){
mat ret = unit;
while(x){
if(x&1) ret = ret*a;
a = a*a;
x >>= 1;
}
return ret;
}
mat a,b;
void init(){
cls(a.m);
a.m[0][0] = a.m[0][len-1] = 1;
for(int i=1;i<len;i++) a.m[i][i-1] = a.m[i][i] = 1;
}
int main(){
init_unit();
while(cin >> n >> s){
len = s.size();
init();
mat ans = pow_mat(a,n);
cls(b.m);
for(int i=0;i<len;i++)
b.m[i][0] = s[i]-'0';
ans = ans*b;
for(int i=0;i<len;i++) printf("%d",ans.m[i][0]);
printf("\n");
}
return 0;
}
姿势2：
/*************************************************************************
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************************************************************************/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,len;
string s;
const int MOD = 2;
const int maxn = 110;
#define ll long long
#define mod(x) ((x)%MOD)
#define cls(x) memset(x,0,sizeof(x));
struct mat{
int m[maxn][maxn];
}unit;
void init_unit(){
for(int i=0;i<maxn;i++) unit.m[i][i] = 1;
}
// 根据循环矩阵可以优化矩阵乘法
// 因为循环矩阵a[i][i] = a[i-1][i-1] , 所以只需要计算出第0行然后递推剩下的其他行就ok了
mat operator *(mat a,mat b){
mat ret;
cls(ret.m);
for(int i=0;i<len;i++)
for(int j=0;j<len;j++)
ret.m[0][i] = mod( ret.m[0][i] + mod(a.m[0][j]&b.m[j][i]) );
for(int i=1;i<len;i++)
for(int j=0;j<len;j++)
ret.m[i][j] = ret.m[i-1][ (j-1+len)%len ];
return ret;
}
mat pow_mat(mat a,int x){
mat ret = unit;
while(x){
if(x&1) ret = ret*a;
a = a*a;
x >>= 1;
}
return ret;
}
mat a,b;
void init(){
cls(a.m);
a.m[0][0] = a.m[0][len-1] = 1;
for(int i=1;i<len;i++) a.m[i][i-1] = a.m[i][i] = 1;
}
int main(){
init_unit();
while(cin >> n >> s){
len = s.size();
init();
// 使用循环矩阵只能计算矩阵a^n，因为只有矩阵a有循环矩阵的特点
mat ans = pow_mat(a,n);
for(int i=0;i<len;i++){
ll tmp = 0;
for(int j=0;j<len;j++){
tmp = mod( tmp + mod(ans.m[i][j]*(s[j]-'0')) );
}
cout<<tmp;
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
姿势3：
/*************************************************************************
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************************************************************************/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,len;
string s;
const int MOD = 2;
const int maxn = 110;
#define ll long long
#define mod(x) ((x)%MOD)
#define cls(x) memset(x,0,sizeof(x));
struct mat{
int m[maxn][maxn];
}unit;
void init_unit(){
for(int i=0;i<maxn;i++) unit.m[i][i] = 1;
}
// 根据循环矩阵可以优化矩阵乘法
// 因为循环矩阵a[i][i] = a[i-1][i-1] , 所以只需要计算出第0行然后递推剩下的其他行就ok了
mat operator *(mat a,mat b){
mat ret;
cls(ret.m);
for(int i=0;i<len;i++)
for(int j=0;j<len;j++)
ret.m[0][i] ^= (a.m[0][j] & b.m[j][i]);
for(int i=1;i<len;i++)
for(int j=0;j<len;j++)
ret.m[i][j] = ret.m[i-1][ (j-1+len)%len ];
return ret;
}
mat pow_mat(mat a,int x){
mat ret = unit;
while(x){
if(x&1) ret = ret*a;
a = a*a;
x >>= 1;
}
return ret;
}
mat a,b;
void init(){
cls(a.m);
a.m[0][0] = a.m[0][len-1] = 1;
for(int i=1;i<len;i++) a.m[i][i-1] = a.m[i][i] = 1;
}
int main(){
init_unit();
while(cin >> n >> s){
len = s.size();
init();
// 使用循环矩阵只能计算矩阵a^n，因为只有矩阵a有循环矩阵的特点
mat ans = pow_mat(a,n);
for(int i=0;i<len;i++){
ll tmp = 0;
for(int j=0;j<len;j++)
tmp ^= (ans.m[i][j] & (s[j]-'0'));
printf("%lld",tmp);
}
printf("\n");
}
return 0;
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