求前n项正整数的倒数和

求前n项正整数的倒数和

　　前n项正整数的和是一个发散的序列，学过高等数学的这个都知道。所以它没有一个精确的公式，但是近似的公式是有的：

　　　　1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/n ≈ ln n + γ,

　　　　其中 γ 是欧拉常数，值为 γ=0.577215,66490,15328,60606,51209,00824,02431,04215,93359,39923,59880,57672,34…

证明：

根据Newton的幂级数有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是：
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n，就给出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
后面那一串和都是收敛的，我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + y

巴特西

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