BZOJ 1598 牛跑步

牛跑步

【问题描述】

BESSIE准备用从牛棚跑到池塘的方法来锻炼. 但是因为她懒,她只准备沿着下坡的路跑到池塘, 然后走回牛棚. BESSIE也不想跑得太远,所以她想走最短的路经. 农场上一共有M (1 <= M <= 10,000)条路, 每条路连接两个用1..N(1 <= N <= 1000)标号的地点. 更方便的是,如果X>Y,则地点X的高度大于地点Y的高度. 地点N是BESSIE的牛棚;地点1是池塘. 很快, BESSIE厌倦了一直走同一条路.所以她想走不同的路,更明确地讲,她想找出K (1 <= K <= 100)条不同的路经.为了避免过度劳累,她想使这K条路经为最短的K条路经. 请帮助BESSIE找出这K条最短路经的长度.你的程序需要读入农场的地图, 一些从X_i到Y_i 的路经和它们的长度(X_i, Y_i, D_i). 所有(X_i, Y_i, D_i)满足(1 <= Y_i < X_i; Y_i < X_i <= N, 1 <= D_i <= 1,000,000).

【输入格式】

* 第1行: 3个数: N, M, 和K

* 第 2..M+1行: 第 i+1 行包含3个数 X_i, Y_i, 和 D_i, 表示一条下坡的路.

【输出格式】

* 第1..K行: 第i行包含第i最短路经的长度,或-1如果这样的路经不存在.如果多条路经有同样的长度,请注意将这些长度逐一列出.

【样例输入】

5 8 7
5 4 1
5 3 1
5 2 1
5 1 1
4 3 4
3 1 1
3 2 1
2 1 1

【样例输出】

1
2
2
3
6
7
-1

【样例解释】

路经分别为(5-1), (5-3-1), (5-2-1), (5-3-2-1), (5-4-3-1),(5-4-3-2-1).

题解：

A*，f(n)=h(n)+g(n)，g(n)表示从初始结点到任意结点n的代价，h(n)表示从结点n到目标点的启发式评估代价

启发式函数可以控制A*的行为：

一种极端情况，如果h(n)是0，则只有g(n)起作用，此时A*演变成Dijkstra算法，这保证能找到最短路径。
如果h(n)经常都比从n移动到目标的实际代价小（或者相等），则A*保证能找到一条最短路径。h(n)越小，A*扩展的结点越多，运行就得越慢。
如果h(n)精确地等于从n移动到目标的代价，则A*将会仅仅寻找最佳路径而不扩展别的任何结点，这会运行得非常快。尽管这不可能在所有情况下发生，你仍可以在一些特殊情况下让它们精确地相等（译者：指让h(n)精确地等于实际值）。只要提供完美的信息，A*会运行得很完美，认识这一点很好。
如果h(n)有时比从n移动到目标的实际代价高，则A*不能保证找到一条最短路径，但它运行得更快。
另一种极端情况，如果h(n)比g(n)大很多，则只有h(n)起作用，A*演变成BFS算法。

　　所以我们得到一个很有趣的情况，那就是我们可以决定我们想要从A*中获得什么。理想情况下，我们想最快地得到最短路径。如果我们的目标太低，我们仍会得到最短路径，不过速度变慢了；如果我们的目标太高，那我们就放弃了最短路径，但A*运行得更快。

摘自：堪称最好的A*算法

此题我们可以直接用单源最短路（Spfa）求出精确的h(n)，根据A*性质那么第k次找到终点的路径就是第k大的路径

 #include<cmath>

 #include<queue>

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 #include<cstring>

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 inline void Scan(int &x)

 {

     char c;

     bool o = false;

     while(!isdigit(c = getchar())) o = (c != '-') ? o : true;

     x = c - '';

     while(isdigit(c = getchar())) x = x *  + c - '';

     if(o) x = -x;

 }

 const int maxn = 5e3 + ;

 const int maxm = 2e5 + ;

 const double inf = 2e9;

 int n, m, k;

 int ansn, ans[maxn];

 int x[maxm], y[maxm], z[maxm];

 int tot, fir[maxn], nex[maxm], ver[maxm];

 double val[maxm];

 inline void Add(int x, int y, double z)

 {

     nex[++tot] = fir[x];

     fir[x] = tot;

     ver[tot] = y;

     val[tot] = z;

 }

 bool vis[maxn];

 int que[maxn << ];

 double dis[maxn];

 inline void Spfa(int x)

 {

     for(int i = ; i <= n; ++i) dis[i] = inf;

     int head = , tail = ;

     que[tail] = x;

     dis[x] = ;

     vis[x] = true;

     while(head < tail)

     {

         int u = que[++head];

         for(int i = fir[u]; i; i = nex[i])

         {

             int v = ver[i];

             if(dis[v] > dis[u] + val[i])

             {

                 dis[v] = dis[u] + val[i];

                 if(!vis[v])

                 {

                     vis[v] = true;

                     que[++tail] = v;

                 }

             }

         }

         vis[u] = false;

     }

 }

 struct ele

 {

     int num;

     double len;

 };

 priority_queue <ele> p;

 inline bool operator < (ele a, ele b)

 {

     return a.len + dis[a.num] > b.len + dis[b.num];

 }

 inline void Astar()

 {

     ele u, v;

     p.push((ele) {n, });

     while(!p.empty())

     {

         u = p.top();

         p.pop();

         if(u.num == )

         {

             ans[++ansn] = u.len;

             if(ansn == k) return;

         }

         for(int i = fir[u.num]; i; i = nex[i])

         {

             v.num = ver[i];

             v.len = u.len + val[i];

             p.push(v);

         }

     }

 }

 int main()

 {

     Scan(n), Scan(m), Scan(k);

     for(int i = ; i <= m; ++i)

     {

         Scan(x[i]), Scan(y[i]), Scan(z[i]);

         Add(y[i], x[i], z[i]);

     }

     Spfa();

     tot = ;

     memset(fir, , sizeof(fir));

     for(int i = ; i <= m; ++i) Add(x[i], y[i], z[i]);

     memset(ans, , sizeof(ans));

     Astar();

     for(int i = ; i <= k; ++i) printf("%d\n", ans[i] < inf ? ans[i] : -);

 }

巴特西

BZOJ 1598 牛跑步

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