【[CQOI2014]数三角形】
2024-09-24 23:08:21
lx让做的题,其实很简单,难度评到紫令人吃惊
首先读进来\(n,m\)先\(++\),之后就是一个格点数为\(n*m\)的矩阵了
我们直接求很那做,补集转化一下,我们容斥来做
首先所有的情况自然是\(C_{n*m}^3\)了
再算出不合法的情况
之后有\(m\)列,三个点在同一列上的方案数自然是\(m*C_n^3\)
有\(n\)行,三个点在同一行的方案数是\(n*C_m^3\)
最后还有斜线上的情况,由于一条方向向量为\((x,y)\)的直线,当两个端点在整点上的时候,直线上还有\(gcd(x,y)-1\)个整点,而这样的的直线一共有\((n-x)(m-y)\)条,这样只考虑了斜率为正的情况,自然还有斜率为负的情况,显然两种情况数量相等,最后还要再乘以二
所以斜线上三点共线的方案数为
\[2*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j)
\]
\]
那么最后的答案就是
\[C_{n*m}^3-m*C_n^3-n*C_m^3-2*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j)
\]
\]
显然这都是可以随便求得,如果\(n,m\)再大一些后面就需要反演啦
代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define re register
LL n,m,ans;
inline LL C(LL n,LL m)
{
LL T=1;
for(re int i=n;i>=n-m+1;i--) T*=(LL)(i);
for(re int i=1;i<=m;i++) T/=(LL)(i);
return T;
}
inline LL read()
{
char c=getchar();
LL x=0;
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')
x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
return x;
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
if(!b) return a;
return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
n=read()+1,m=read()+1;
ans=C(n*m,3);
ans-=C(n,3)*m+C(m,3)*n;
for(re int i=1;i<=n;i++)
for(re int j=1;j<=m;j++)
ans-=2ll*(gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j);
std::cout<<ans;
return 0;
}
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