[洛谷P3205] HNOI2010 合唱队
问题描述
为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果,作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人,第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排,为了简化问题,小A想出了如下排队的方式:他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形,然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中:
-第一个人直接插入空的当前队形中。
-对从第二个人开始的每个人,如果他比前面那个人高(H较大),那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小),那么将他插入当前队形的最左边。
当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。
例如,有6个人站成一个初始队形,身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,
那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形:
- 1850
- 1850 , 1900 因为 1900 > 1850
- 1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900
- 1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700
- 1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650
- 1750, 1650, 1700,1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800
因此,最终排出的队形是 1750,1650,1700,1850, 1900,1800
小A心中有一个理想队形,他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形
输入格式
无
输出格式
注意要mod19650827
样例输入
4
1701 1702 1703 1704
样例输出
8
解析
区间DP。
首先想到设\(f[i][j]\)表示将区间\([i,j]\)变为对应区间理想排列的方案数。可以发现,我们在转移时一个不可避免的问题就是不知道如何转移。这个区间的状态不能由两个子区间合并得到,由两个端点转移也存在顺序问题。因此,我们需要升级我们的状态,以便于表示放数的顺序。
注意到两个端点中一定有一个是最后放的,并且是左端点还是右端点取决于前面一个区间最后放的数。设f[i][j]表示将[i,j]变为理想状态且最后放的数为i,g[i][j]表示将[i,j]变为理想状态且最后放的数为j。下面讨论转移。
对于f数组,讨论第i个数与第i+1与第j个数的关系,我们有如下转移方程:
f[i+1][j],a[i]<a[i+1]\\
g[i+1][j],a[i]<a[j]\\
\end{cases}
\]
对于g数组,同理可得如下状态转移方程:
f[i][j-1],a[j]>a[i]\\
g[i][j-1],a[j]>a[j-1]\\
\end{cases}
\]
最后的答案即为\(f[1][n]+g[1][n]\)。注意初始状态时长度为1的区间只有一种情况,即\(f[i][i]=1,g[i][i]=0\)。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 1002
using namespace std;
int n,i,j,k,a[N],f[N][N],g[N][N];
const int mod=19650827;
int main()
{
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(i=1;i<=n;i++) f[i][i]=1;
for(k=1;k<=n;k++){
for(i=1;i+k-1<=n;i++){
j=i+k-1;
if(a[i]<a[i+1]) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][j])%mod;
if(a[i]<a[j]) f[i][j]=(f[i][j]+g[i+1][j])%mod;
if(a[j]>a[i]) g[i][j]=(g[i][j]+f[i][j-1])%mod;
if(a[j]>a[j-1]) g[i][j]=(g[i][j]+g[i][j-1])%mod;
}
}
int ans=(f[1][n]+g[1][n])%mod;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
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