[CSP-S模拟测试]:F（DP+线段树）

题目传送门（内部题49）

输入格式

第一行四个整数$n,q,a,b$。
接下来$n$行每行一个整数$p_i$。

输出格式

一行一个整数表示答案。

样例

样例输入：

10 3 3 7

样例输出：

数据范围与提示

对于$30\%$的数据：$n,q\leqslant 2,000$
对于所有数据：
$1\leqslant n,q\leqslant {10}^5$
$1\leqslant p_i\leqslant n$

题解

首先，我们考虑$30\%$的算法怎么办？

考虑$DP$，定义$dp[i][j]$表示到了第$i$步，一个指针在$p_i$，另一个指针在$j$的最短步数。

那么我们可以里出状态转移方程：

　　$\alpha.dp[i][j]=dp[i-1][j]+|p_i-p_{i-1}|$（上一次和这一次移动的是一个指针）

　　$\beta.dp[i][p_{i-1}]=dp[i-1][j]+|p_i-j|$（上一次和这一次移动的不是一个指针）

那么我们接着考虑如何优化。

发现转移$\alpha$其实就是将整个区间都加了$|p_i-p_{i-1}|$，而转移$\beta$我们可以维护$dp[i][j]+j$和$dp[i][j]-j$的最小值即可。

所以考虑线段树优化，即可得到满分。

时间复杂度：$\Theta(n\log n)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

代码时刻

#include<bits/stdc++.h>

#define L(x) x<<1

#define R(x) x<<1|1

using namespace std;

int n,q,a,b;

int p[100001];

long long tr[4][400001];

void pushup(int x)

{

	tr[0][x]=min(tr[0][L(x)],tr[0][R(x)]);

	tr[1][x]=min(tr[1][L(x)],tr[1][R(x)]);

	tr[2][x]=min(tr[2][L(x)],tr[2][R(x)]);

}

void pushdown(int x)

{

	if(!tr[3][x])return;

	tr[0][L(x)]+=tr[3][x];

	tr[0][R(x)]+=tr[3][x];

	tr[1][L(x)]+=tr[3][x];

	tr[1][R(x)]+=tr[3][x];

	tr[2][L(x)]+=tr[3][x];

	tr[2][R(x)]+=tr[3][x];

	tr[3][L(x)]+=tr[3][x];

	tr[3][R(x)]+=tr[3][x];

	tr[3][x]=0;

}

void build(int x,int l,int r)

{

	if(l==r)

	{

		if(l==b)

		{

			tr[0][x]=0;

			tr[1][x]=l;

			tr[2][x]=-l;

		}

		return;

	}

	int mid=(l+r)>>1;

	build(L(x),l,mid);

	build(R(x),mid+1,r);

	pushup(x);

}

void change(int x,int l,int r,int w,long long k)

{

	if(l==r)

	{

		tr[0][x]=min(tr[0][x],k);

		tr[1][x]=tr[0][x]+l;

		tr[2][x]=tr[0][x]-l;

		return;

	}

	int mid=(l+r)>>1;

	pushdown(x);

	if(w<=mid)change(L(x),l,mid,w,k);

	else change(R(x),mid+1,r,w,k);

	pushup(x);

}

long long ask1(int x,int l,int r,int L,int R)

{

	if(R<l||r<L)return 200209230020020923;

	if(L<=l&&r<=R)return tr[2][x];

	int mid=(l+r)>>1;

	pushdown(x);

	return min(ask1(L(x),l,mid,L,R),ask1(R(x),mid+1,r,L,R));

}

long long ask2(int x,int l,int r,int L,int R)

{

	if(R<l||r<L)return 200209230020020923;

	if(L<=l&&r<=R)return tr[1][x];

	int mid=(l+r)>>1;

	pushdown(x);

	return min(ask2(L(x),l,mid,L,R),ask2(R(x),mid+1,r,L,R));

}

int main()

{

	scanf("%d%d%d%d",&n,&q,&a,&b);

	memset(tr[0],0x3f,sizeof(tr[0]));

	memset(tr[1],0x3f,sizeof(tr[1]));

	memset(tr[2],0x3f,sizeof(tr[2]));

	build(1,1,n);

	for(int i=1;i<=q;i++)

	{

		scanf("%d",&b);

		tr[0][0]=min(ask1(1,1,n,1,b)+b,ask2(1,1,n,b,n)-b);

		tr[0][1]+=abs(a-b);

		tr[1][1]+=abs(a-b);

		tr[2][1]+=abs(a-b);

		tr[3][1]+=abs(a-b);

		change(1,1,n,a,tr[0][0]);

		a=b;

	}

	cout<<tr[0][1]<<endl;

	return 0;

}

rp++

巴特西