[题解 LuoguP4491 [HAOI2018]染色

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神仙计数题 Orz

先令\(F[k]\)表示出现次数恰好为\(S\)次的颜色恰好有\(k\)中的方案数，那么

\[Ans=\sum\limits_{i=0}^mW_iF[i]
\]

怎么求\(F[k]\)呢？一个naive的想法，我指定哪\(k\)种颜色恰好染\(S\)次，然后剩下的\(n-kS\)个位置用剩下的\(m-k\)种颜色随便染

相当与对一个有\(k+1\)种元素的集合（前\(k\)中元素分别有\(S\)个，最后一种元素有\(n-kS\)个）做可重复集合全排列

这个方案数是\(\frac{n!}{(S!)^k(n-kS)!}\)的

剩下的\(n-kS\)个位置又可以用剩下的颜色随便染，所以还要乘上\((m-k)^{n-kS}\)

所以我们得到了一个柿子\(\binom{m}{k}\times\frac{n!}{(S!)^k(n-kS)!}\times (m-k)^{n-kS}\)

从这个柿子也可以看出，合法的颜色种数不会超过\(lim=\min(m,\lfloor n/S\rfloor)\)

然后发现他假了，首先这样得到的并不是恰好有\(k\)种的方案数，其次在后面随便染色的时候我们还可能算上重复的方案，它根本不能称为方案数。

但不要放弃希望，我们把上面的柿子叫做\(G[k]\)好了。考虑怎么用\(F\)算\(G\)，又有一个naive的想法枚举合法的颜色有多少个得到这个柿子

\(G[k]=\sum_{i=k}^{lim} F[i]\)

但上面我们说过了，\(G[k]\)可能会算上重复的方案数。

对于一个恰好有\(i\)种颜色满足要求的方案，不难发现在\(G[k]\)中会被重复计算\(\binom{i}{k}\)次（先在\(i\)个颜色中指定\(k\)个然后剩下的随便染，这样可能会染到同一种方案）

所以

\[G[k]=\sum\limits_{i=k}^{lim} \binom{i}{k} F[i]
\]

发现右边出现了组合数，这恰恰是一个可以二项式反演的柿子，于是反演一波得到

\[F[k]=\sum\limits_{i=k}^{lim} (-1)^{i-k}\binom{i}{k} G[i]
\]

这样就可以得到一个平方的算法了，考虑优化。

先把组合数炸开来

\[F[k]=\sum\limits_{i=k}^{lim} (-1)^{i-k}\frac{i!}{k!(i-k)!}G[i]
\]

然后

\[F[k]\times k!=\sum\limits_{i=k}^{lim}\frac{(-1)^{i-k}}{(i-k)!}\times i!G[i]
\]

令\(A[i]=i!G[i],B[i]=\frac{(-1)^i}{i!}\)，有

\[F[k]\times k!=\sum\limits_{i=k}^{lim} A[i]B[i-k]
\]

这个柿子已经有点可以卷积了，随便翻转\(A\)或者\(B\)都可以，下面翻转\(A\)好了，令翻转\(A[0...lim]\)后得到\(A^T\)，那么

\[F[k]\times k!=\sum\limits_{i=k}^{lim} A^T[lim-i]B[i-k]
\]

将\(A\)与\(B\)卷积，然后\(F[k]\times k!\)就是卷积的第\(lim-k\)项。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);++i)

#define per(i,a,b) for (int i=(a)-1;i>=(b);--i)

#define mp make_pair

#define pb push_back

#define fi first

#define se second

#define all(x) (x).begin(),(x).end()

#define SZ(x) ((int)(x).size())

typedef double db;

typedef long long ll;

typedef pair<int,int> PII;

typedef vector<int> VI;

const int NN=1e7+10,N=3e5+10,P=1004535809;

inline int add(int x,int y) {return (x+=y)>=P?x-P:x;}

inline int sub(int x,int y) {return (x-=y)<0?x+P:x;}

inline int normal(int x) {return x<0?x+P:x;}

inline int fpow(int x,int y) {

    int ret=1; for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)

        if(y&1) ret=1ll*ret*x%P;

    return ret;

}

const int gn=3,ign=fpow(gn,P-2);

int fac[NN],ifac[NN],inv[NN];

inline int getC(int n,int r) {return 1ll*fac[n]*ifac[n-r]%P*ifac[r]%P;}

namespace Poly {

    int rev[N];

    inline void init(int n) {

        rep(i,0,n) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0);

    }

    void ntt(int *f,int n,int flg) {

        rep(i,0,n) if(rev[i]<i) swap(f[i],f[rev[i]]);

        for(int len=2,k=1;len<=n;len<<=1,k<<=1) {

            int wn=fpow(flg==1?gn:ign,(P-1)/len);

            for(int i=0;i<n;i+=len)

                for(int j=i,w=1;j<i+k;j++,w=1ll*w*wn%P) {

                    int tmp=1ll*w*f[j+k]%P;

                    f[j+k]=sub(f[j],tmp),f[j]=add(f[j],tmp);

                }

        }

        if(flg==-1) {

            int invn=fpow(n,P-2);

            rep(i,0,n+1) f[i]=1ll*f[i]*invn%P;

        }

    }

}

using Poly::ntt;

void init(int n) {

    ifac[0]=ifac[1]=fac[0]=fac[1]=inv[1]=1;

    rep(i,2,n+1) {

        inv[i]=1ll*inv[P%i]*(P-P/i)%P;

        ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%P;

        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%P;

    }

}

int A[N],B[N],W[N];

int main() {

#ifdef LOCAL

    freopen("a.in","r",stdin);

#endif

    int n,m,s; scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);

    rep(i,0,m+1) scanf("%d",&W[i]);

    init(max(max(n,m),s));

    int lim=min(m,n/s);

    rep(i,0,lim+1) {

        A[i]=1ll*fac[i]*getC(m,i)%P*fac[n]%P*fpow(ifac[s],i)%P

                *ifac[n-i*s]%P*fpow(m-i,n-i*s)%P;

        B[i]=(i&1)?P-ifac[i]:ifac[i];

    }

    reverse(A,A+lim+1);

    int limit=1; while(limit<=2*lim) limit<<=1; Poly::init(limit);

    ntt(A,limit,1),ntt(B,limit,1);

    rep(i,0,limit) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P;

    ntt(A,limit,-1);

    int ans=0;

    rep(i,0,m+1) ans=add(ans,1ll*W[i]*A[lim-i]%P*ifac[i]%P);

    printf("%d\n",ans);

    return 0;

}

巴特西

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