Luogu P1962 斐波那契数列(矩阵乘法模板)
2024-08-21 14:51:43
累了 明天再解释
做这道题需要一些关于矩阵乘法的基础知识。
1. 矩阵乘法的基础运算
只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,A与B可以相乘(A的行数不一定等于B的列数)。
代码实现(重载运算符):
struct matrix {
int ma[][];
};
matrix operator * (const matrix &A,const matrix &B) {
matrix C;
for(int i = ; i < ; i++)
for(int j = ; j < ; j++)
for(int k = ; k < 3; k++)
C.ma[i][j] = C.ma[i][j] + A.ma[i][k] * B.ma[k][j];
return C;
}
2. 单位矩阵
主对角线上的元素都为1,其余元素全为0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵,记为或
可以通过模拟推出,任何其他矩阵 * 单位矩阵 = 它本身。
回到这道题:
因为 f[i] = f[i-1] + f[i-2],首先构造一个矩阵 [ f[i] f[i-1] ]
它应该等于 [ f[i-1] f[i-2] ] * A.
由于f[i] = f[i-1] *1 + f[i-2]*1,所以矩阵A的第一列应该都为1;
f[i-1] = f[i-1] *1 + f[i-2]*0,所以第二列为1和0;
即
得到以下公式
可以看出,求斐波那契数列即为求刚刚推导出的这个矩阵的n次幂;
这时就可以用快速幂来解决这道题了w
void quickpow(int b) {
while(b) {
if(b & ) ans = ans * base;
base = base * base;
b >>= ;
}
} int main() {
if(n <= ) {
printf("");
return ;
}
base.a[][] = base.a[][] = base.a[][] = ;
ans.a[][] = ans.a[][] = ;
quickpow(n - );
printf("%d",ans.a[][]);
return ;
}
(由于fibonacci数列的前两个数字=1已经给出,矩阵(f[2],f[1])即(1,1)是已知的,所以快速幂只要进行n-2次)
求的时候ans矩阵的第一个数即为答案。
- 一个小优化:当base自乘时,求出的数组刚好为
所以只要看n-1次的base[0][0]就可以了qwq(或者n次的base[0][1])
代码如下(我做的时候没有用重载运算符而是写了个函数来实现矩阵乘法的)
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod = ; struct matrix {
ll ma[][];
}; matrix ans;
ll n; matrix mul(matrix A,matrix B) {
matrix C;
C.ma[][] = C.ma[][] = C.ma[][] = C.ma[][] = ;
for(int i = ; i < ; i++)
for(int j = ; j < ; j++)
for(int k = ; k < ; k++)
C.ma[i][j] += A.ma[i][k] * B.ma[k][j] % mod;
return C;
} matrix quickpow(matrix A,ll n) {
matrix B;
B.ma[][] = B.ma[][] = ;
B.ma[][] = B.ma[][] = ;
while(n) {
if(n&)B = mul(A,B);
A = mul(A,A);
n >>= ;
}
return B;
} int main() {
scanf("%lld",&n);
matrix A;
A.ma[][] = A.ma[][] = A.ma[][] = ;
A.ma[][] = ;
ans = quickpow (A,n);
printf("%lld",ans.ma[][]%mod);
return ;
}
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