正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4389

题目大意

\(n\)种物品，第\(i\)种大小为\(v_i\)，数量无限。对于每个\(s\in[1,m]\)求刚好填满\(s\)容量的方案数。

\(1\leq n,m\leq 10^5\)

解题思路

统计和为一定值的方案数，好像可以生成函数做？

每种物品大小\(v\)有一个生成函数

\[F(x)=\sum_{i\geq 0}x^{i\times v}=\frac{1}{1-x^v}
\]

然后所有生成函数乘起来就好了，但这样是\(O(n^2\log n)\)的比暴力还慢...

乘起来比较慢，如果\(ln\)之后改成加法就好了，但是\(ln\)也是\(O(n)\)的。不过我们的式子比较特殊，对于\(ln\)之后求个导就会有神器的结果

\[ln'(1-x^v)=\frac{(1-x^v)'}{1-x^v}=\frac{-v\times x^{v-1}}{1-x^v}
\]

\[=-v\sum_{i\geq 0}x^{v-1+v\times i}
\]

然后在积分回去就是

\[-\sum_{i\geq 0}\frac{x^{v+v\times i}}{i}=-\sum_{i\geq 1}\frac{x^{v\times i}}{i}
\]

然后记录每个大小的物品出现了多少次，之后\(O(m\log m)\)加系数，然后再\(exp+\)求逆回去就好了。

时间复杂度\(O(n+m\log m)\)

code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

const ll N=4e5+10,P=998244353;

ll n,c,l,r[N],f[N],v[N],inv[N];

ll t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],t5[N],t6[N];

ll power(ll x,ll b){

	ll ans=1;

	while(b){

		if(b&1)ans=ans*x%P;

		x=x*x%P;b>>=1;

	}

	return ans;

}

void Glen(ll m){

	n=1;while(n<=m)n<<=1;

	for(ll i=0;i<n;i++)

		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);

	return;

}

void NTT(ll *f,ll op){

	for(ll i=0;i<n;i++)

		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);

	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){

		ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);

		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);

		for(ll k=0;k<n;k+=p){

			ll buf=1;

			for(ll i=k;i<k+len;i++){

				ll tt=f[i+len]*buf%P;

				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;

				f[i]=(f[i]+tt)%P;

				buf=buf*tmp%P;

			}

		}

	}

	if(op==-1){

		ll inv=power(n,P-2);

		for(ll i=0;i<n;i++)

			f[i]=f[i]*inv%P;

	}

	return;

}

void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){

	if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}

	GetInv(f,g,m>>1);Glen(m);

	for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=f[i],t2[i]=g[i];

	NTT(t1,1);NTT(t2,1);

	for(ll i=0;i<n;i++)

		t1[i]=t1[i]*t2[i]%P*t2[i]%P;

	NTT(t1,-1);

	for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(g[i]*2-t1[i]+P)%P;

	for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;

	return;

}

void GetD(ll *f,ll *g,ll n){

	for(ll i=0;i<n-1;i++)

		g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;

	g[n-1]=0;return;

}

void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){

	for(ll i=n-1;i>0;i--)

		g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;

	g[0]=0;return;

}

void GetLn(ll *f,ll *g,ll m){

	Glen(m);GetD(f,t3,n);GetInv(f,t4,n);

	Glen(m);Glen(n);NTT(t3,1);NTT(t4,1);

	for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i];

	NTT(t3,-1);GetJ(t3,g,n);

	for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;

	return;

}

void GetExp(ll *f,ll *g,ll m){

	if(m==1){g[0]=1;return;}

	GetExp(f,g,m>>1);GetLn(g,t5,m);Glen(m);

	for(ll i=0;i<m;i++)t6[i]=f[i];

	for(ll i=m;i<n;i++)t5[i]=0;

	NTT(t5,1);NTT(t6,1);NTT(g,1);

	for(ll i=0;i<n;i++)g[i]=g[i]*(1-t5[i]+t6[i]+P)%P;

	NTT(g,-1);for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;

	return;

}

signed main()

{

	scanf("%lld%lld",&c,&l);inv[1]=1;

	for(ll i=2;i<N;i++)

		inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;

	for(ll i=1;i<=c;i++){

		ll x;scanf("%lld",&x);

		v[x]++;

	}

	Glen(l);

	for(ll i=l;i>=1;i--){

		ll w=v[i];v[i]=0;

		for(ll j=i;j<n;j+=i)

			(v[j]+=w*(P-inv[j/i])%P)%=P;

	}

	ll p=n;GetExp(v,f,n);

	for(ll i=0;i<n;i++)v[i]=0;

	GetInv(f,v,n);

	for(ll i=1;i<=l;i++)

		printf("%lld\n",v[i]);

	return 0;

}

巴特西

P4389-付公主的背包【生成函数,多项式exp】

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