无旋树堆(FHQ-Treap)学习笔记

简介

无旋树堆(一般统称 \(\text{FHQ-Treap}\))，是一种平衡树。可以用很少的代码达到很优秀的复杂度。

前置知识：

二叉搜索树 \(\text{BST}\)
\(\text{Treap}\) 基本知识

普通平衡树

例题引入

P6136 【模板】普通平衡树（数据加强版）

您需要写一种数据结构，来维护一些整数，其中需要提供以下操作：

插入一个整数 \(x\)。
删除一个整数 \(x\)（若有多个相同的数，只删除一个）。
查询整数 \(x\) 的排名（排名定义为比当前数小的数的个数 \(+1\)）。
查询排名为 \(x\) 的数（如果不存在，则认为是排名小于 \(x\) 的最大数。保证 \(x\) 不会超过当前数据结构中数的总数）。
求 \(x\) 的前驱（前驱定义为小于 \(x\)，且最大的数）。
求 \(x\) 的后继（后继定义为大于 \(x\)，且最小的数）。

本题强制在线，保证所有操作合法（操作 \(2\) 保证存在至少一个 \(x\)，操作 \(4,5,6\) 保证存在答案）。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n\leq 10^5\)，\(1\leq m\leq 10^6\)，\(0\leq a_i,x\lt 2^{30}\)。

准备姿势

const int SIZE = 2e6+5; // 数组大小

int son[SIZE][2]; // 平衡树数组

int val[SIZE],rk[SIZE],siz[SIZE]; // val是权值,rk是随机权值,siz是子树大小

int root,points; // root是树根，points是点数(最后一个节点的编号)

mt19937 randomer(time(0)); // 随机生成器

#define ls(i) (son[(i)][0]) // 左子树

#define rs(i) (son[(i)][1]) // 右子树

void pushup(int i){ // 上推信息，这里是子树大小

	siz[i]=siz[ls(i)]+siz[rs(i)]+1;

}

int newnode(int v){ // 新建节点

	val[++points]=v; // 权值赋值

	rk[points]=randomer(); // 随机生成随机权值

	siz[points]=1; // 散点子树大小为1

	return points; // 返回节点编号

}

FHQ-Treap 基本操作——分裂(split)

这里的 \(\text{split}\) 是按大小分裂，按权值分裂将会在【文艺平衡树】中讲。

\(\operatorname{split}(p,v,l,r)\) 定义为，将根为 \(p\) 的树，分裂成两个子树 \(l,r\) 使得 \(l\) 的所有点权小于等于 \(v\)，\(r\) 中的所有点权大于 \(v\)。

实现也是非常的暴力，由于BST中，左子树小于根，右子树大于根，于是直接判断，如果 \(p\) 的全职 \(\le v\)，我们就往右子树递归看看有没有机会（左子树一定满足），否则就往左子树递归。

代码：

void split(int p,int v,int &left,int &right){

	if(!p){ // 节点不存在的情况

		left=right=0;

		return;

	}

	if(val[p]<=v){

		left=p;

		split(rs(p),v,rs(left),right);

	}

	else{

		right=p;

		split(ls(p),v,left,ls(right));

	}

	pushup(p);

}

由于最多一条链从根搜到叶子，所以时间复杂度是 \(O(\log n)\) 的。

FHQ-Treap 基本操作——合并(merge)

\(\operatorname{merge}(l,r)\) 指，将 \(l,r\) 两棵树合并，然后返回新的树的树根。

如果打过线段树合并，那么打这一部分的内容会感觉很亲切。

在 \(\text{Treap}\) 中，合并方向取决于随机权值，\(\text{FHQ-Treap}\) 也不例外。

如果 \(l\) 的权值大于 \(r\) 的，那么保留 \(l\) 的左子树，右子树改为 \(\operatorname{merge}(r,\operatorname{rightSon}(l))\)。

如果 \(r\) 的权值大于 \(l\) 的，那么保留 \(r\) 的左子树，右子树改为 \(\operatorname{merge}(l,\operatorname{rightSon}(r))\)。

代码：

int merge(int left,int right){

	if(!left||!right){ // 节点不存在的情况

		if(left)return left;

		else if(right)return right;

		else return 0;

	}

	if(rk[left]<rk[right]){

		ls(right)=merge(left,ls(right));

		pushup(right);

		return right;

	}

	else{

		rs(left)=merge(rs(left),right);

		pushup(left);

		return left;

	}

}

时间复杂度 \(O(\log n)\)。

FHQ-Treap 其他操作——insert

\(\operatorname{insert}(v)\)，在平衡树中插入一个数 \(v\)。

我们可以将平衡树分裂成两个部分 \(x,y\)，使得 \(x\lt v,y \ge v\)。然后合并回去。

代码：

void insert(int v){

	int left=0,right=0;

	split(root,v-1,left,right);

	root=merge(merge(left,newnode(v)),right);

}

FHQ-Treap 其他操作——remove

\(\operatorname{remove}(v)\)，在平衡树中删除元素 \(v\)，如果有多个，删除其中的任意一个。

将平衡树分裂成 \(x,y,z\)，使得 \(x\lt v,y=v,z\gt v\)，将 \(y\) 的根删掉，然后合并 \(x,y,z\)。

代码：

void remove(int v){

	int left=0,mid=0,right=0;

	split(root,v,left,right);

	split(left,v-1,left,mid);

	mid=merge(ls(mid),rs(mid));

	root=merge(merge(left,mid),right);

}

FHQ-Treap 的其他操作——rank

\(\operatorname{rank}(v)\)，查询 \(v\) 在平衡树中的排名。

先将平衡树分裂成 \(x,y\)，使得 \(x\lt v,y \ge v\)，然后查询 \(x\) 的子树大小，加 \(1\) 就是答案，最后记得合并回去。

代码：

int rnk(int v){

	int left=0,right=0,ret;

	split(root,v-1,left,right);

	ret=siz[left]+1;

	root=merge(left,right);

	return ret;

}

FHQ-Treap 的其他操作——kth,pre,nxt

由于本人弱，不想讲解。

代码：

int kth(int k){

	int now=root;

	while(1){

		if(k<=siz[ls(now)]){

			now=ls(now);

		}

		else if(k==siz[ls(now)]+1){

			return val[now];

		}

		else{

			k-=siz[ls(now)]+1;

			now=rs(now);

		}

	}

}

int pre(int v){

	int now=root,ret=0;

	while(1){

		if(!now){

			return ret;

		}

		else if(v<=val[now]){

			now=ls(now);

		}

		else{

			ret=val[now];

			now=rs(now);

		}

	}

}

int next(int v){

	int now=root,ret=0;

	while(1){

		if(!now){

			return ret;

		}

		else if(v>=val[now]){

			now=rs(now);

		}

		else{

			ret=val[now];

			now=ls(now);

		}

	}

}

例题代码

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;

namespace FHQTreap{

	const int SIZE = 2e6+5;

	int son[SIZE][2];

	int val[SIZE],rk[SIZE],siz[SIZE],root,points;

	mt19937 randomer(time(0));

#define ls(i) (son[(i)][0])

#define rs(i) (son[(i)][1])

	void pushup(int i){

		siz[i]=siz[ls(i)]+siz[rs(i)]+1;

	}

	int newnode(int v){

		val[++points]=v;

		rk[points]=randomer();

		siz[points]=1;

		return points;

	}

	void split(int p,int v,int &left,int &right){

		if(!p){

			left=right=0;

			return;

		}

		if(val[p]<=v){

			left=p;

			split(rs(p),v,rs(left),right);

		}

		else{

			right=p;

			split(ls(p),v,left,ls(right));

		}

		pushup(p);

	}

	int merge(int left,int right){

		if(!left||!right){

			if(left)return left;

			else if(right)return right;

			else return 0;

		}

		if(rk[left]<rk[right]){

			ls(right)=merge(left,ls(right));

			pushup(right);

			return right;

		}

		else{

			rs(left)=merge(rs(left),right);

			pushup(left);

			return left;

		}

	}

	void insert(int v){

		int left=0,right=0;

		split(root,v-1,left,right);

		root=merge(merge(left,newnode(v)),right);

	}

	void remove(int v){

		int left=0,mid=0,right=0;

		split(root,v,left,right);

		split(left,v-1,left,mid);

		mid=merge(ls(mid),rs(mid));

		root=merge(merge(left,mid),right);

	}

	int kth(int k){

		int now=root;

		while(1){

			if(k<=siz[ls(now)]){

				now=ls(now);

			}

			else if(k==siz[ls(now)]+1){

				return val[now];

			}

			else{

				k-=siz[ls(now)]+1;

				now=rs(now);

			}

		}

	}

	int pre(int v){

		int now=root,ret=0;

		while(1){

			if(!now){

				return ret;

			}

			else if(v<=val[now]){

				now=ls(now);

			}

			else{

				ret=val[now];

				now=rs(now);

			}

		}

	}

	int next(int v){

		int now=root,ret=0;

		while(1){

			if(!now){

				return ret;

			}

			else if(v>=val[now]){

				now=rs(now);

			}

			else{

				ret=val[now];

				now=ls(now);

			}

		}

	}

	int rnk(int v){

		int left=0,right=0,ret;

		split(root,v-1,left,right);

		ret=siz[left]+1;

		root=merge(left,right);

		return ret;

	}

}

namespace solution{

	int n,m,lastans,ret;

	int solution(){

		lastans=0;

		ret=0;

		cin>>n>>m;

		for(int i=1,v;i<=n;i++){

			cin>>v;

			FHQTreap::insert(v);

		}

		while(m--){

			int op,v;

			cin>>op>>v;

			if(op==1){

				v^=lastans;

				FHQTreap::insert(v);

			}

			else if(op==2){

				v^=lastans;

				FHQTreap::remove(v);

			}

			else if(op==3){

				v^=lastans;

				lastans=FHQTreap::rnk(v);

				ret^=lastans;

			}

			else if(op==4){

				v^=lastans;

				lastans=FHQTreap::kth(v);

				ret^=lastans;

			}

			else if(op==5){

				v^=lastans;

				lastans=FHQTreap::pre(v);

				ret^=lastans;

			}

			else{

				v^=lastans;

				lastans=FHQTreap::next(v);

				ret^=lastans;

			}

		}

		cout<<ret;

		return 0;

	}

}

signed main(){

    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);

	return solution::solution();

}

AC Record

普通平衡树例题

P2343 宝石管理系统

P2343 宝石管理系统

GY 君购买了一批宝石放进了仓库。有一天 GY 君心血来潮，想要清点他的宝石，于是把 \(m\) 个宝石都取出来放进了宝石管理系统。每个宝石 \(i\) 都有一个珍贵值 \(v_i\)，他希望你能编写程序查找到从大到小第 \(n\) 珍贵的宝石。但是现在问题来了，他非常不小心的留了一些宝石在仓库里面，有可能要往现有的系统中添加宝石。这些宝石的个数比较少。他表示非常抱歉，但是还是希望你的系统能起作用。

\(m\leq 100000\),\(q\leq 30000\)

这道题比较水，直接 \(\text{FHQ-Treap}\) 模拟。

时间复杂度 \(O(q\log m)\)

巴特西