bzoj3114 LCM Pair Sum
题意:以质因数分解的方式给定n,求所有满足:lcm(a, b) = n的无序数对的价值和。其中(a, b)的价值为a + b
解:
定义首项为a,公比为q,项数为n的等比数列的和为getQ(a, q, n)
首先考虑只有一个质因数,例如4。
有如下数对:(1, 4), (2, 4), (4, 4)
可得答案为getQ(1, 2, 2) + 43
然后扩展:6。
对于每个质因数来说:
2: (1, 2), (2, 2)
3: (1, 3), (3, 3)
两两乘起来之后发现:少了一项(2, 3),这是由于我们用的是无序数对。那么改成有序数对试试。
2: 3:
(1, 2) (1, 3)
(2, 1) (3, 1)
(2, 2) (3, 3)
交叉相乘:
(1, 6) (3, 2) (3, 6)
(2, 3) (6, 1) (6, 3)
(2, 6) (6, 2) (6, 6)
发现所有无序数对除了(6, 6)之外都出现了两次,于是补上一个(6, 6)之后/2即可。
现在考虑如何求交叉相乘的表。
设我们的两列数对如下:
(a, b) (e, f)
(c, d) (g, h)
要求的式子:
ae + bf + ag + bh + ce + df + cg + dh
因式分解:
(a + c)(e + g) + (b + d)(f + h)
考虑我们一开始列出来的某一列:
2:
(1, 2)
(2, 1)
(2, 2)
可得:a + c = b + d
故上式 = 2(a + c)(e + g)
推广:
设n = Πaipi,则ans = 2Π{getQ(1, a[i], p[i] + 1) + pi * aipi}
复杂度TmlogV,其中V为指数值域。
#include <cstdio> typedef long long LL;
const int N = ;
const LL MO = 1e9 + ; int a[N], p[N]; inline LL qpow(LL a, LL b) {
LL ans = ;
while(b) {
if(b & ) {
ans = ans * a % MO;
}
a = a * a % MO;
b = b >> ;
}
return ans;
} inline LL getQ(LL a, LL q, LL n) {
a %= MO;
if(!n) {
return 0ll;
}
if(n == || !a || !q) {
return a;
}
if(n == ) {
return (a + a * q % MO) % MO;
}
if(n & ) {
return (a + getQ(a * q % MO, q, n - )) % MO;
}
return (qpow(q, n >> ) + ) * getQ(a, q, n >> ) % MO;
} inline void solve() {
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = ; i <= n; i++) {
scanf("%d%d", &a[i], &p[i]);
}
LL ans = , sum = ;
for(int i = ; i <= n; i++) {
LL temp = qpow(a[i], p[i]) * p[i] % MO;
(temp += getQ(, a[i], p[i] + )) %= MO;
ans = ans * temp % MO;
(sum *= qpow(a[i], p[i])) %= MO;
//printf("temp : %lld \n", temp);
}
//printf("sum = %lld \n", sum);
ans = (ans + sum + sum) % MO;
ans = ans * ((MO + ) >> ) % MO;
printf("%lld\n", ans);
return;
} int main() { int T;
scanf("%d", &T);
for(int i = ; i <= T; i++) {
printf("Case %d: ", i);
solve();
} return ;
}
AC代码
题外话:这东西是我在某个最小割练习题表里面看到的......
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