CF 449D 题解(状压+容斥)
状压妙啊...
本题的主体思路:状压+容斥原理(或状压+数位dp)
记g[i]表示按位与后结果所有位上至少有i个1的方案数
那么根据容斥原理,ans=g[0]-g[1]+g[2]-g[3]+g[4]...
于是如果我们求出了g,就可以求出ans
可是怎么求出g呢
我们记f[i]表示a&i==i这样的a的个数,那么如果i某一位上为1,则a这一位上也为1
于是我们可以枚举所有可能的结果(0-10^6),然后观察这个结果是否是某一个可能结果的子集,如果是的话就累计个数
详细说一下,就是我首先读入所有数据,每读入一个数据x记录f[x]++作为初始值,然后不断更新
在更新的时候,我们首先枚举每一位j,然后枚举1~10^6的所有值i,如果某个值这一位上是1,则更新:
f[i^(1<<j)]+=f[i];
就是去掉j位的个数加上i
什么?怎么证明这样统计是不重不漏的?
首先,我们是按位枚举的,一开始只有初始读入的部分有值,剩下的没有值。那么,当我们枚举第一位时,我们只会更新由初值去掉第一位所能获得的所有值
以此类推,当我们更新第二位时,我们只会更新初值去掉前两位和初值只去掉第二位能获得的所有值
也就是说,我们在更新每一位时,都不会产生重复的状态,都是原来的状态+这一位,所以是不重的,而由于这样的枚举能够遍历所有数位的组合,所以也是不漏的
好,我们处理出了f,接下来?
我们可以枚举所有结果,统计他有几位上是1,那么如果有1位上是1,就会对g[1]产生贡献,等等,以此类推
然后我们再考虑,产生多少贡献?
我们会发现,如果这个结果对应的数有k个,那么答案应为2^k-1(即每个数都有选或不选两种状态,但不能全不选)
所以他产生的贡献就是2^k-1
什么?这种方法的正确性何在?
首先,根据容斥原理,答案的正确性是很显然的
那么我们只需证明g求解的正确性即可
首先回顾一下g的定义:“至少”包含i个1的取法的方案数
也就是说,我所找出的东西数位中1的个数只需>=i即可
那这个是很显然能够保证的
于是为什么不重呢?
由于每个结果互不相同,而我们最后事实上是按结果取的,所以每一种取法都是互不相同的,保证了正确性。
最后代码:
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
#define mode 1000000007
#define maxx 1000000
ll v[];
ll dp[];
ll f[];
int n;
int main()
{
v[]=;
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=maxx;i++)
{
v[i]=(v[i-]<<)%mode;
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
dp[x]++;
}
for(int j=;j<=;j++)
{
for(int i=;i<=maxx;i++)
{
if(((<<j)&i))
{
dp[i^(<<j)]+=dp[i];
}
}
}
ll ans=;
for(int i=;i<=maxx;i++)
{
int cnt=;
for(int j=;j<=;j++)
{
if((<<j)&i)
{
cnt++;
}
}
f[cnt]+=((v[dp[i]]-)%mode+mode)%mode;
}
for(int i=;i<=;i++)
{
if(i%)
{
ans-=f[i];
ans%=mode;
}else
{
ans+=f[i];
ans%=mode;
}
}
printf("%I64d\n",(ans%mode+mode)%mode);
return ;
}
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