【笔记】「pj复习」深搜——拿部分分
说在最前面
众所周知, NOIP pj 的第三题大部分都是 dp ,但是有可能在考场上想不到动态转移方程,所以我们就可以拿深搜骗分。
方法
- 深搜拿部分分
- 剪枝
- 记忆化
- 看数据范围
有时候发现,写完深搜,发现可以打表qwq!
那不就很香嘛(
实践出真知
例一:P1057 传球游戏
法1
dfs 暴搜
期望得分:\(\rm 40pts\)
首先写出 \(dfs\) 的参数:
首先是小蛮在第几号,当然是 \(1\) ,然后是次数 \(0\)
再看递归边界
这里是环状递归边界:
if (x == 0) x = n;
if (x == n + 1) x = 1;
if (step == m) {
if (x == 1) return 1;
return 0;
}
接下来往下继续搜。
dfs(x + 1, step + 1) + dfs(x - 1, step + 1);
好! \(\rm 40pts\) 到手!
那么我们可以再看一下数据范围,那么小!直接打表啊!
因为时间关系,这里打表就不多讲解了。
法2
加上记忆化
期望得分:\(\rm 90pts\)
大家应该都知道:暴搜加上记忆化 \(≈\) 动归
所以我们加上记忆化:
定义一个 \(a\) 数组,表示在某一个位置经过 \(step\) 步能否回到起始位置的方法数。
if (a[x][step] != 0) return a[x][step];
放上 dfs 代码:
int dfs (int x, int step) {
if (x == 0) x = n;
if (x == n + 1) x = 1;
if (step == m) {
if (x == 1) return 1;
return 0;
}
return dfs(x + 1, step + 1) + dfs(x - 1, step + 1);
}
为什么是 90 分???
因为想一下,如果是奇数,那么永远传不到小蛮手中,就会肯定 T 。
法3
加一个特判。
期望得分: \(100pts\)
if (n % 2 == 0 && m % 2 == 1) {
cout << 0;
return 0;
}
法4
既然这题的正解是 dp,那么我们还是要讲讲 dp 的。
其实 dp 和记忆化没有很大的区别。
状态表示:\(\rm f[i][j]\) 表示第 \(i\) 次传球后球在第 \(j\) 个小朋友手上回到小蛮手中的方案数。
我们发现 \(\rm f[i][j]\) 跟 \(\rm a[x][step]\) 是很像的。
状态转移:\(\rm f[i][j] =
\begin{cases}
\rm f[i - 1][j - 1] & \text{第 i 次传球从左边传给 j}\\
\rm f[i - 1][j + 1] & \text{第 i 次传球从右边传给 j}
\end{cases}\)
这样写对不对?不对!
因为这是环状的,环状的解决方法通常是 \(\mod n\)
\((x + n - 1) \mod n + 1\)
所以正确状态转移为:\(\rm f[i][j] =
\begin{cases}
\rm f[i - 1][(j - 1 + n - 1) \mod n + 1] & \text{第 i 次传球从左边传给 j}\\
\rm f[i - 1][(j + 1 + n - 1) \mod n + 1] & \text{第 i 次传球从右边传给 j}
\end{cases}\)
所以:\(\rm f[i][j] = f[i - 1][(j - 1 + n - 1) \mod n + 1] + f[i - 1][(j + 1 + n - 1) \mod n + 1]\)
做完,最后放上 AC 代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#define line cout << endl
using namespace std;
int f[35][35];
int n, m;
int main() {
cin >> n >> m;
f[1][n] = f[1][2] = 1;
for (int i = 2; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][(j - 1 + n - 1) % n + 1] + f[i - 1][(j + 1 + n - 1) % n + 1];
}
}
cout << f[m][1] << endl;
return 0;
}
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