51nod1040最大公约数之和（欧拉函数）

题面

题解

这种题目就是推倒推倒

\[\sum_{i=1}^n \gcd(i,n)=\sum_{i|n}i\sum_{j=1}^n[\gcd(j,n)=i]
\]

\[\sum_{i=1}^n \gcd(i,n)=\sum_{i|n}i\sum_{j=1}^{\frac{n}{i}}[\gcd(j,\frac{n}{i})=1]
\]

\[\sum_{i=1}^n \gcd(i,n)=\sum_{i|n}i\varphi({\frac{n}{i}})
\]

然后暴力就行了

//minamoto

#include<bits/stdc++.h>

#define R register

#define ll long long

#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)

#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)

#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)

using namespace std;

const int N=1e5+5;

bitset<N>vis;int p[N],phi[N],c[N],v[N],top,n,m,t,sqr;ll res;

void init(int n){

	phi[1]=1;

	fp(i,2,n){

		if(!vis[i])p[++m]=i,phi[i]=i-1;

		for(R int j=1;j<=m&&1ll*i*p[j]<=n;++j){

			vis[i*p[j]]=1;

			if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}

			phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);

		}

	}

}

int Phi(int n){

	if(n<=sqr)return phi[n];

	int res=n;

	for(R int i=1;i<=m&&p[i]<=n;++i)if(n%p[i]==0){

		while(n%p[i]==0)n/=p[i];

		res=res/p[i]*(p[i]-1);

	}

	if(n!=1)res=res/n*(n-1);

	return res;

}

void dfs(int pos,int now){

	if(pos==top+1)return res+=1ll*now*Phi(n/now),void();

	for(int i=0;i<=c[pos];++i,now*=v[pos])dfs(pos+1,now);

}

int main(){

//	freopen("testdata.in","r",stdin);

	scanf("%d",&n),init(sqr=N-5);

	t=n;

	fp(i,1,m)if(t%p[i]==0){

		v[++top]=p[i];

		while(t%p[i]==0)++c[top],t/=p[i];

	}

	if(t!=1)v[++top]=t,c[top]=1;

	dfs(1,1);

	printf("%lld\n",res);

	return 0;

}

巴特西

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