【CF453D】 Little Pony and Elements of Harmony（FWT）

题面

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设\(a\)的递推公式为

\[a_i=\sum_ja_jb[count(i\oplus j)]
\]

其中\(\oplus\)为异或，\(count(i)\)表示\(i\)的二进制中\(1\)的个数

给出\(a_0,b\)，求\(a_t\)，\(t\leq 10^{18}\)

题解

如果我们定义\(c_i=b[count(i)]\)

这显然就是个异或卷积了……因为要卷\(t\)次，所以点值表示乘起来的时候要把\(c_i\)快速幂一下

然而有个尴尬的问题就是这里的模数可能是偶数……那么我们\(IDFT\)的时候\(2\)显然没有逆元啊……

解决方法是把模数乘上\(lim\)（即\(fwt\)的数组长度），那么最后\(IDFT\)之后把所有数对\(lim\)下去整就行了

记得得用快速乘

//minamoto

#include<bits/stdc++.h>

#define R register

#define ll long long

#define dd long double

#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)

#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)

#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)

using namespace std;

char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;

inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}

int read(){

    R int res,f=1;R char ch;

    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);

    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');

    return res*f;

}

ll readll(){

    R ll res,f=1;R char ch;

    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);

    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');

    return res*f;

}

const int N=(1<<20)+5;

ll P;

inline ll add(R ll x,R ll y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}

inline ll dec(R ll x,R ll y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}

inline ll mul(R ll x,R ll y){return x*y-(ll)((dd)x/P*y)*P;}

inline ll ksm(R ll x,R ll y){

    ll res=1;

    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))y&1?res=mul(res,x):0;

    return res;

}

void Fwt(ll *A,int lim,int ty){

    ll t;

    for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)

        for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))

            fp(k,0,mid-1)

                A[j+k+mid]=dec(A[j+k],t=A[j+k+mid]),

                A[j+k]=add(A[j+k],t);

    if(!ty)fp(i,0,lim-1)A[i]/=lim;

}

int n,lim;ll t,a[N],c[N],sz[N],b[25];

int main(){

    n=read(),t=readll(),P=read(),lim=(1<<n),P*=lim;

    fp(i,0,lim-1)a[i]=read()%P;fp(i,0,n)b[i]=read()%P;

    fp(i,0,lim-1)c[i]=b[sz[i]=sz[i>>1]+(i&1)];

    Fwt(a,lim,1),Fwt(c,lim,1);

    fp(i,0,lim-1)a[i]=mul(a[i],ksm(c[i],t));

    Fwt(a,lim,0);

    fp(i,0,lim-1)printf("%I64d\n",a[i]);

    return 0;

}

巴特西

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