一道Google面试题——基数排序思想
题目描述：
一个大小为n的数组，里面的数都属于范围[0，n-1]，有不确定的重复元素，找到至少一个重复元素，要求O(1)空间和O(n)时间。
算法分析：
这个题目要求用O(n)的时间复杂度，这意味着只能遍历数组一次。同时还要寻找重复元素，很容易想到建立哈希表来完成，遍历数组时将每个元素映射到哈希表中，如果哈希表中已经存在这个元素则说明这就是个重复元素。因此直接使用C++ STL中的hash_set，可以方便的在O(n)时间内完成对重复元素的查找。
但是题目却在空间复杂度上有限制——要求为O(1)的空间。因此采用哈希表这种解法肯定在空间复杂度上是不符合要求的。但可以沿着哈希法的思路继续思考，题目中数组中所以数字都在范围[0， n-1]，因此哈希表的大小为n即可。因此我们实际要做的就是对n个范围为0到n-1的数进行哈希，而哈希表的大小刚好为n。对排序算法比较熟悉的同学不难发现这与一种经典的排序算法——基数排序非常类似。而基数排序的时间空间复杂度刚好符合题目要求！因此尝试使用基数排序来解这道面试题。
举例分析：
下面以2，4，1，5，7，6，1，9，0，2这十个数为例，展示下如何用基数排序来查找重复元素。
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
数据 |
2 |
4 |
1 |
5 |
7 |
6 |
1 |
9 |
0 |
2 |
（1）由于第0个元素a[0] 等于2不为0，故交换a[0]与a[a[0]]即交换a[0]与a[2]得：
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
数据 |
|
4 |
|
5 |
7 |
6 |
1 |
9 |
0 |
2 |
（2）由于第0个元素a[0] 等于1不为0，故交换a[0]与a[a[0]]即交换a[0]与a[1]得：
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下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
数据 |
|
1 |
2 |
5 |
7 |
6 |
1 |
9 |
0 |
2 |
（3）由于第0个元素a[0] 等于4不为0，故交换a[0]与a[a[0]]即交换a[0]与a[4]得：
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
数据 |
7 |
1 |
2 |
5 |
4 |
6 |
1 |
9 |
0 |
2 |
（4）由于第0个元素a[0] 等于7不为0，故交换a[0]与a[a[0]]即交换a[0]与a[7]得：
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
数据 |
|
1 |
2 |
5 |
4 |
6 |
1 |
|
0 |
2 |
（5）由于第0个元素a[0] 等于9不为0，故交换a[0]与a[a[0]]即交换a[0]与a[9]得：
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下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
数据 |
2 |
1 |
2 |
5 |
4 |
6 |
1 |
7 |
0 |
9 |
（6）由于第0个元素a[0] 等于2不为0，故交换a[0]与a[a[0]]即交换a[0]与a[2]，但a[2]也为2与a[0]相等，因此我们就找到了一个重复的元素——2。
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
数据 |
|
1 |
|
5 |
4 |
6 |
1 |
7 |
0 |
9 |
通过上面的具体分析，得到如下代码：
//GOOGLE面试题
//一个大小为n的数组，里面的数都属于范围[0, n-1]，有不确定的重复元素，找到至少一个重复元素，要求O(1)空间和O(n)时间。
#include <stdio.h>
const int NO_REPEAT_FLAG = -;
void Swap(int &x, int &y)
{
int t = x;
x = y;
y = t;
}
//类似于基数排序，找出数组中第一个重复元素。
int RadixSort(int a[], int n)
{
int i;
for (i = ; i < n; i++)
{
while (i != a[i])
{
if (a[i] == a[a[i]])
return a[i];
Swap(a[i], a[a[i]]);
}
}
return NO_REPEAT_FLAG;
}
void PrintfArray(int a[], int n)
{
for (int i = ; i < n; i++)
printf("%d ", a[i]);
putchar('\n');
}
int main()
{
const int MAXN = ;
int a[MAXN] = {, , , , , , , , , };
printf("数组为: \n");
PrintfArray(a, MAXN);
int nRepeatNumber = RadixSort(a, MAXN);
if (nRepeatNumber != NO_REPEAT_FLAG)
printf("该数组有重复元素，此元素为%d\n", nRepeatNumber);
else
printf("该数组没有重复元素\n");
return ;
}
整个程序的核心代码只有Radixsort()函数中短短5行左右，虽然有二重循环语句，但每个元素只会被访问一次，完成符合题目对时间复杂度的要求。
存在的问题：
改动了原数组的数据，那么有没有一种方法既能在满足题目时间、空间复杂度要求的前提下找到数组中的重复元素，又能不改变数组中的数据呢？
我们可以通过下面的方式实现：
int Repeat(int *a, int n)
{
for(int i = ; i < n; i++)
{
if(a[i] > ) //判断条件
{
if(a[ a[i] ] < )
{
return a[i];//已经被标上负值了，有重复
}
else
{
a[ a[i] ]= -a[a[i]]; //记为负
} }
else // 此时|a[i]|代表的值已经出现过一次了
{
if(a[-a[i]] < )
{
return -a[i];//有重复找到
}
else
{
a[ -a[i] ] = -a[ -a[i] ];
}
}
}
return -;//数组中没有重复的数
}
下面我们通过一个具体的实例分析一下：——以取负为访问标志的方法
设int a[] = {1, 2, 1}
第一步：由于a[0]等于1大于0，因此先判断下a[a[0]]即a[1]是否小于0，如果小于，说明这是第二次访问下标为1的元素，表明我们已经找到了重复元素。不是则将a[a[0]]取负，a[1]=-a[1]=-2。
第二步：由于a[1]等于-2，因此先判断下a[-a[1]]取出a[2]是否小于0，如果小于，说明这是第二次访问下标为2的元素，表明我们已经找到了重复元素。不是则将a[-a[1]]取负，a[2]=-a[2]=-1。
第三步：由于a[2]等于-1，因此判断下a[-a[2]]即a[1]是否小于0，由于a[1]在第一步中被取反过了，因此证明这是第二次访问下标为1的元素，直接返回-a[2]即可。
但是问题又一次的出现了：
当数组第0个元素为0且数据中只有0重复时是无法找出正确解的。只要用：
const int MAXN = 5;
int a[MAXN] = {0, 1, 2, 3, 0};
这组数据来测试，就会发现该方法无法判断0是个重复出现的元素。
解决方法：
这个算法之所以用到了取负，是因此根据题目条件，数组中数据范围为[0，n-1]，因此可以通过判断元素是否大于0来决定这个元素是未访问过的数据还是已访问过的数据。但也正因为对0的取负是无效操作决定了这个算法存在着缺陷。要改进一下也很简单——不用取负，而用加n。这样通过判断元素是否大于等于n就能决定这个元素是未访问过的数据还是已访问过的数据。
改进代码如下：
//GOOGLE面试题
//一个大小为n的数组，里面的数都属于范围[0, n-1]，有不确定的重复元素，找到至少一个重复元素，要求O(1)空间和O(n)时间。
#include <stdio.h>
const int NO_REPEAT_FLAG = -;
int FindRepeatNumberInArray(int *a, int n)
{
for(int i = ; i < n; i++)
{
int nRealIndex = a[i] >= n ? a[i] - n : a[i];
if (a[nRealIndex] >= n) //这个位置上的值大于n说明已经是第二次访问这个位置了
return nRealIndex;
else
a[nRealIndex] += n;
}
return NO_REPEAT_FLAG; //数组中没有重复的数
}
void PrintfArray(int a[], int n)
{
for (int i = ; i < n; i++)
printf("%d ", a[i]);
putchar('\n');
}
int main()
{
const int MAXN = ;
int a[MAXN] = {, , , , , , , , , };
printf("数组为: \n");
PrintfArray(a, MAXN);
int nRepeatNumber = FindRepeatNumberInArray(a, MAXN);
if (nRepeatNumber != NO_REPEAT_FLAG)
printf("该数组有重复元素，此元素为%d\n", nRepeatNumber);
else
printf("该数组没有重复元素\n");
return ;
}
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