导数使用T.grad计算。

这里使用pp()打印梯度的符号表达式。

第3行输出是打印了经过优化器简化的符号梯度表达式，与第1个输出相比确实简单多了。

fill((x** TensorConstant{2}), TensorConstant{1.0})指创建一个x**2大小的矩阵，并填充1。

importtheano.tensor as T

fromtheano import pp

fromtheano import function

x= T.dscalar('x')

y= x ** 2

gy= T.grad(y, x)

printpp(gy)

f= function([x], gy)

printf(4)

printpp(f.maker.fgraph.outputs[0])

>>>

((fill((x** TensorConstant{2}), TensorConstant{1.0}) * TensorConstant{2}) * (x **(TensorConstant{2} - TensorConstant{1})))

8.0

(TensorConstant{2.0}* x)

T.grad的第1个參数必须是标量

比如计算逻辑函数sigmoid的导数：

\frac{{ds\left( x \right)}}{{dx}} = s\left( x \right) \cdot \left( {1 - s\left( x \right)} \right)" alt="">

importtheano.tensor as T

fromtheano import function

x= T.dmatrix('x')

s= T.sum(1 / (1 + T.exp(-x)))

gs= T.grad(s, x)

dlogistic= function([x], gs)

printdlogistic([[0, 1], [-1, -2]])

>>>

[[0.25        0.19661193]

 [ 0.19661193 0.10499359]]

计算雅克比（Jacobian）矩阵

雅克比矩阵是向量的一阶偏导数：

用T.arrange生成从0到y.shape[0]的序列。循环计算。

scan能够提高创建符号循环效率。

lambda~是python内建的magicfunction.

x= T.dvector('x')

y = x ** 2

J, updates = theano.scan(lambdai, y,x : T.grad(y[i], x), sequences=T.arange(y.shape[0]), non_sequences=[y,x])

f = function([x], J,updates=updates)

f([4, 4])

>>>

[[ 8.  0.]

 [ 0. 8.]]

计算海森（Hessian）矩阵

海森矩阵是多元函数的二阶偏导数方阵。

仅仅要用T.grad(cost,x)替换雅克比矩阵的一些y就可以。

x= T.dvector('x')

y = x** 2

cost= y.sum()

gy =T.grad(cost, x)

H,updates = theano.scan(lambda i, gy,x : T.grad(gy[i], x),sequences=T.arange(gy.shape[0]), non_sequences=[gy, x])

f =function([x], H, updates=updates)

f([4,4])

>>>

[[2.  0.]

 [ 0. 2.]]

雅克比右乘

x能够由向量扩展成矩阵。雅克比右乘使用Rop:

W = T.dmatrix('W')

V =T.dmatrix('V')

x =T.dvector('x')

y =T.dot(x, W)

JV =T.Rop(y, W, V)

f =theano.function([W, V, x], JV)

printf([[1, 1], [1, 1]], [[2, 2], [2, 2]], [0,1])

>>>

[2.  2.]

雅克比左乘

雅克比左乘使用Lop:

import theano

import theano.tensor as T

from theano import function

x = T.dvector('x')

v =T.dvector('v')

x =T.dvector('x')

y =T.dot(x, W)

VJ =T.Lop(y, W, v)

f =theano.function([v,x], VJ)

print f([2, 2], [0, 1])

>>>

[[0.  0.]

 [ 2. 2.]]

海森矩阵乘以向量

能够使用Rop

import theano

import theano.tensor as T

from theano import function

x= T.dvector('x')

v= T.dvector('v')

y= T.sum(x ** 2)

gy= T.grad(y, x)

Hv= T.Rop(gy, x, v)

f= theano.function([x, v], Hv)

printf([4, 4], [2, 2])

>>>

[4.  4.]

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