happiness[国家集训队2011(吴确)]

【试题来源】

2011中国国家集训队命题答辩

【问题描述】

高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。

【输入格式】

第一行两个正整数n，m。
接下来是六个矩阵
第一个矩阵为n行m列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择文科获得的喜悦值。
第二个矩阵为n行m列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择理科获得的喜悦值。
第三个矩阵为n-1行m列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
第四个矩阵为n-1行m列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。
第五个矩阵为n行m-1列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
第六个矩阵为n行m-1列此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。

【输出格式】

输出一个整数，表示喜悦值总和的最大值

【样例输入】

1 2
1 1
100 110
1
1000

【样例输出】

1210

【样例说明】

两人都选理，则获得100+110+1000的喜悦值。

【数据规模和约定】

对于10%以内的数据，n,m<=4
对于30%以内的数据，n,m<=8
对于100%以内的数据，n,m<=100 数据保证答案在2^30以内
对于100%的数据，时间限制为0.5s。

【题解】

这道题的难点在于确定边权。最小割问题，割去的就是我们失去的部分；两点之间有关系，总是通过建边来实现的。对于这道题来说，每种情况我们都失去了什么？以源点代表文科，汇点代表理科。都选一科(三角环)，失去了共同选另一科和分别选另一科的喜悦值。分别选两科(二字形)，失去了两个共同喜悦值和两个单独选另一科的喜悦值。(可以证明可能出现的情况只有这两种，否则都不会是最小割)相同位置的边权构成一定相同，因此用数学方法推出每个人到源点或汇点的边权为个人喜悦值+1/2共同喜悦值，两点之间边权为1/2都选文+1/2都选理。注意共同边要双向建边，因为两点之间是完全等效的；每个人向源点和汇点的边应该在边权全部处理完之后再统一添加。

可以发现边权会出现实型，结果却一定是整型。对于这种情况，可以把边权全部*2，最后结果再/2来避免double的麻烦。dfs函数中有一个语句：if(!f) break;原先从来没打过，这道题不加这个却会超时，加了之后直接上榜，确实是一个非常有理有据的优化。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<queue>

using namespace std;

const int sj=;

int n,m,sx[sj][sj],e,h[sj*sj],s,t,dep[sj*sj];

int w[sj][sj],l[sj][sj],g[sj][sj],z[sj][sj],a1,ans;

struct B

{

    int ne,v,w;

}b[sj*sj*];

queue<int> q;

void add(int x,int y,int z)

{

     b[e].v=y;

     b[e].w=z;

     b[e].ne=h[x];

     h[x]=e++;

}

void init()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    t=n*m+;

    memset(h,-,sizeof(h));

    for(int i=;i<=n;i++)

      for(int j=;j<=m;j++)

      {

        scanf("%d",&w[i][j]);

        sx[i][j]=(i-)*m+j;

        ans+=w[i][j];

        w[i][j]*=;

      }

    for(int i=;i<=n;i++)

      for(int j=;j<=m;j++)

      {

        scanf("%d",&l[i][j]);

        ans+=l[i][j];

        l[i][j]*=;

      }

    for(int i=;i<n;i++)

      for(int j=;j<=m;j++)

      {

        scanf("%d",&a1);

        ans+=a1;

        g[i][j]=a1;

        w[i][j]+=a1;

        w[i+][j]+=a1;

      }

    for(int i=;i<n;i++)

      for(int j=;j<=m;j++)

      {

        scanf("%d",&a1);

        ans+=a1;

        g[i][j]+=a1;

        l[i][j]+=a1;

        l[i+][j]+=a1;

        add(sx[i][j],sx[i+][j],g[i][j]);

        add(sx[i+][j],sx[i][j],g[i][j]);

      }

    for(int i=;i<=n;i++)

      for(int j=;j<m;j++)

      {

        scanf("%d",&a1);

        ans+=a1;

        z[i][j]=a1;

        w[i][j]+=a1;

        w[i][j+]+=a1;

        add(s,sx[i][j],w[i][j]);

        add(sx[i][j],s,);

      }

    for(int i=;i<=n;i++)

    {

      add(s,sx[i][m],w[i][m]);

      add(sx[i][m],s,);

    }

    for(int i=;i<=n;i++)

      for(int j=;j<m;j++)

      {

        scanf("%d",&a1);

        ans+=a1;

        z[i][j]+=a1;

        l[i][j]+=a1;

        l[i][j+]+=a1;

        add(t,sx[i][j],);

        add(sx[i][j],t,l[i][j]);

        add(sx[i][j],sx[i][j+],z[i][j]);

        add(sx[i][j+],sx[i][j],z[i][j]);

      }

    for(int i=;i<=n;i++)

    {

      add(sx[i][m],t,l[i][m]);

      add(t,sx[i][m],);

    }

    ans*=;

}

bool bfs(int x)

{

    while(!q.empty()) q.pop();

    memset(dep,,sizeof(dep));

    dep[x]=;

    q.push(x);

    while(!q.empty())

    {

       x=q.front();

       q.pop();

       for(int i=h[x];i!=-;i=b[i].ne)

         if(!dep[b[i].v]&&b[i].w)

         {

            dep[b[i].v]=dep[x]+;

            if(b[i].v==t) return ;

            q.push(b[i].v);

         }

    }

    return ;

}

int bj(int x,int y)

{

     return x<y?x:y;

}

int dfs(int x,int f)

{

     if(x==t) return f;

     int ans=,d;

     for(int i=h[x];i!=-;i=b[i].ne)

       if(dep[b[i].v]==dep[x]+&&b[i].w)

       {

          d=dfs(b[i].v,bj(f,b[i].w));

          f-=d;

          ans+=d;

          b[i].w-=d;

          b[i^].w+=d;

          if(!f) break;

       }

     if(!ans) dep[x]=-;

     return ans;

}

int main()

{

    init();

    while(bfs(s))  ans-=dfs(s,0x7fffffff);

    printf("%d",ans/);

    return ;

}

happiness

巴特西