POJ_3041_Asteroids

参考自： http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1299322465

解题思路：

把方阵看做一个特殊的二分图（以行列分别作为两个顶点集V1、V2，其中| V1|=| V2|）

然后把每行x或者每列y看成一个点，而障碍物(x,y)可以看做连接x和y的边。按照这种思路构图后。问题就转化成为选择最少的一些点(x或y)，使得从这些点与所有的边相邻，其实这就是最小点覆盖问题。

再利用二分图最大匹配的König定理：

最小点覆盖数 = 最大匹配数

（PS：最小点覆盖：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖图的所有的边。）

因此本题自然转化为求 二分图的最大匹配 问题

求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。

因此，需要寻求一种更加高效的算法——用增广路求最大匹配的方法（匈牙利算法）

增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

　1、P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2、将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’

（反操作：把P中的匹配边与非匹配边互换）

3、M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径P

匈牙利算法轮廓：

　　(1)置M为空

　　(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

　　(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

代码：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

#define Del(x,y) memset(x,y,sizeof(x))

int map[][],vis[],link[];

int n,k;

bool dfs(int x)

{

    for(int i=;i<=n;i++)

        if(map[x][i]==&&vis[i]==)

    {

        vis[i]=;

        if(link[i]==-||dfs(link[i]))

        {

            link[i]=x;

            return true;

        }

    }

    return false;

}

void solve()

{

    int ans=;

    Del(link,-);

    for(int i=;i<=n;i++)

    {

        Del(vis,);

        if(dfs(i))

            ans++;

    }

    printf("%d\n",ans);

}

int main()

{

    int r,c;

    scanf("%d%d",&n,&k);

    Del(map,);

    while(k--)

    {

        scanf("%d%d",&r,&c);

        map[r][c]=;

    }

    solve();

    return ;

}

巴特西

POJ_3041_Asteroids

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