AtCoder Grand Contest 011 F - Train Service Planning

题目传送门：https://agc011.contest.atcoder.jp/tasks/agc011_f

题目大意：

现有一条铁路，铁路分为\(1\sim n\)个区间和\(0\sim n\)个站台，区间\(i\)连接站台\(i-1\)和\(i\)

一列火车经过区间\(i\)会消耗\(A_i\)，区间内的铁路是单向或者是双向的，现在你需要设计一个火车时间表，满足：

所有火车从\(0\)到\(n\)或从\(n\)到\(0\)
火车在区间中不得逗留
两列同向的火车之间的时间间隔为\(K\)
单向区间不得有两列相向而行的火车同时经过

输出某辆列车从\(0\)到\(n\)再返回的最小时间

我们记车\(0\)(终点为\(n\))在车站\(i\)等待了\(P_i\)分钟，记车\(1\)(终点\(0\))在车站\(i\)等待了\(-Q_i\)分钟，由于是在\(\%K\)意义下，所以这样是没有问题的

\(P_i\)和\(Q_i\)显然为非负整数，考虑对于某条单向区间\(x\)，有：

车\(0\)在第\(x\)条铁路上的区间为\((\sum\limits_{i=1}^{x-1}A_i+\sum\limits_{i=0}^{x-1}P_i,\sum\limits_{i=1}^xA_i+\sum\limits_{i=0}^{x-1}P_i)\)

车\(1\)在第\(x\)条铁路上的区间为\((\sum\limits_{i=1}^{x-1}-A_i+\sum\limits_{i=0}^{x-1}-Q_i,\sum\limits_{i=1}^x-A_i+\sum\limits_{i=0}^{x-1}-Q_i)\)

显然这两个区间长度是一样的，然后由于这两个区间交集为空，于是我们可以转化为端点的不等式，解得\(\sum\limits_{i=0}^{x-1}P_i+Q_i\notin(-2\sum\limits_{i=1}^xA_i,-2\sum\limits_{i=1}^{x-1}A_i)\)，我们设这段区间的补集为\([L_i,R_i]\)，得到\(\sum\limits_{i=0}^{x-1}P_i+Q_i\in[L_i,R_i]\)

记\(S_x=\sum\limits_{i=0}^xP_i+Q_i\)，答案即为\(S_n+2\sum\limits_{i=1}^{n}A_i\)问题转化为我们要最小化\(S_{n}\)，且满足\(S_i\in[L_i,R_i]\)，那么这题就成了：给定\(n\)个区间，任选起点，走\(n\)步，第\(i\)步需要落在区间\([L_i,R_i]\)中，求最小总路径长度

这显然是可以dp的，而且有个很显然的贪心结论：如果起点确定，那么每次走到下一个区间的左端点最优

于是我们设\(f_i\)表示当前在区间\([L_i,R_i]\)，一直走到\(n\)的最短路径，那么每次转移时，我们需要找到一个\(j\)满足\(L_j\notin[L_i,R_i],i<j\)，且\(j\)最小，转移即为\(f_i=f_j+dis(L_i,L_j)\)，找\(j\)的过程是可以用线段树优化的，直接进行补集覆盖即可

最后枚举所有的起点得到最优解，加上\(\sum\limits_{i=1}^nA_i\)输出即可

/*program from Wolfycz*/

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define inf 0x7f7f7f7f

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef unsigned int ui;

typedef unsigned long long ull;

inline char gc(){

	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;

	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;

}

inline int frd(){

	int x=0,f=1; char ch=gc();

	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')	f=-1;

	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';

	return x*f;

}

inline int read(){

	int x=0,f=1; char ch=getchar();

	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;

	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';

	return x*f;

}

inline void print(int x){

	if (x<0)	putchar('-'),x=-x;

	if (x>9)	print(x/10);

	putchar(x%10+'0');

}

const int N=1e5;

struct S1{

	#define ls (p<<1)

	#define rs (p<<1|1)

	int tree[(N<<3)+10];

	void pushdown(int p){

		if (!tree[p])	return;

		tree[ls]=tree[rs]=tree[p];

		tree[p]=0;

	}

	void Modify(int p,int l,int r,int x,int y,int v){

		if (x>y)	return;

		if (x<=l&&r<=y){

			tree[p]=v;

			return;

		}

		pushdown(p);

		int mid=(l+r)>>1;

		if (x<=mid)	Modify(ls,l,mid,x,y,v);

		if (y>mid)	Modify(rs,mid+1,r,x,y,v);

	}

	int Query(int p,int l,int r,int x){

		if (l==r)	return tree[p];

		pushdown(p);

		int mid=(l+r)>>1;

		if (x<=mid)	return Query(ls,l,mid,x);

		else	return Query(rs,mid+1,r,x);

	}

	#undef ls

	#undef rs

}ST;//Segment Tree

int A[N+10],B[N+10];

int L[N+10],R[N+10];

ll sum[N+10],f[N+10];

int list[(N<<1)+10];

int n,K,T,tot;

ll Get(int x){

	int tmp=ST.Query(1,1,T,x);

	if (!tmp)	return 0;

	return f[tmp]+(list[L[tmp]]-list[x]+K)%K;

}

int main(){

	n=read(),K=read();

	bool flag=0;

	for (int i=1;i<=n;i++){

		A[i]=read(),B[i]=read();

		sum[i]=sum[i-1]+A[i];

		if (B[i]==2)	continue;

		if (2*A[i]>K)	flag=1;

	}

	if (flag){

		printf("-1\n");

		return 0;

	}

	for (int i=1;i<=n;i++){

		if (B[i]==1){

			L[i]=(-2*sum[i-1]%K+K)%K;

			R[i]=(-2*sum[i  ]%K+K)%K;

		}else	L[i]=0,R[i]=K-1;

		list[++tot]=L[i];

		list[++tot]=R[i];

	}

	sort(list+1,list+1+tot);

	T=unique(list+1,list+1+tot)-list-1;

	for (int i=1;i<=n;i++){

		L[i]=lower_bound(list+1,list+1+T,L[i])-list;

		R[i]=lower_bound(list+1,list+1+T,R[i])-list;

	}

	for (int i=n;i;i--){

		f[i]=Get(L[i]);

		if (R[i]<L[i])	ST.Modify(1,1,T,R[i]+1,L[i]-1,i);

		else	ST.Modify(1,1,T,1,L[i]-1,i),ST.Modify(1,1,T,R[i]+1,T,i);

	}

	ll Ans=f[1];

	for (int i=1;i<=T;i++)	Ans=min(Ans,Get(i));

	printf("%lld\n",Ans+2*sum[n]);

	return 0;

}

巴特西

AtCoder Grand Contest 011 F - Train Service Planning

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