AtCoder abc 141 F - Xor Sum 3(线性基)
2024-09-07 09:19:09
题意:
给出\(n\)个数\(a_i\),现在要将其分为两堆,使得这两堆数的异或和相加最大。
思路:
- 考虑线性基贪心求解。
- 但直接上线性基求出一组的答案是行不通的,原因之后会说。
- 注意到如果二进制中某一位\(1\)的个数出现了奇数次,那么无论怎么分,都会有一组中这位为\(1\);对于出现偶数次的位,两组中该位都可以有\(1\),或者都没有\(1\)。
- 那么我们只需要贪心地插入二进制\(1\)的个数为偶数的那些位就行了,显然这样能使得最终答案最大。
下面口胡一下为什么不能直接用线性基来搞:
如果贪心地利用线性基直接求出一组答案,假设第\(i\)位二进制出现次数为奇数,那么我们可能就以\(i\)为基底,那么其余偶数位作为基底的"可能性"就降低了,所以我们在插入线性基的时候要避免奇数个数的位,这样能使答案最大。
#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e5 + 5;
int n;
ll a[N], p[62];
bool chk[62];
void insert(ll x) {
for(int i = 60; i >= 0; i--) {
if(chk[i]) continue;
if(x >> i & 1) {
if(!p[i]) {
p[i] = x;
break;
}
x ^= p[i];
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
cin >> n;
ll all = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], all ^= a[i];
for(int i = 0; i <= 60; i++) {
if(all >> i & 1) chk[i] = 1;
}
for(int i = 1; i <= n; i++) insert(a[i]);
ll ans = 0;
for(int i = 0; i <= 60; i++) {
if(chk[i])
for(int j = 0; j <= 60; j++) {
if(p[j] >> i & 1) {
p[j] ^= (1ll << i);
}
}
}
for(int i = 60; i >= 0; i--) {
if((p[i] ^ ans) > ans) ans = p[i] ^ ans;
}
cout << ans + (ans ^ all);
return 0;
}
P.S:实现的话可以一开始就将\(a\)数组\(chk\)了的位的值减去,就让这些位不参与运算,写起来能更加简洁。
如下:
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e5 + 5;
int n;
ll a[N], p[62];
void insert(ll x) {
for(int i = 60; i >= 0; i--) {
if(x >> i & 1) {
if(!p[i]) {
p[i] = x;
break;
}
x ^= p[i];
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
cin >> n;
ll all = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], all ^= a[i];
for(int i = 0; i <= 60; i++) {
if(all >> i & 1) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(a[j] >> i & 1) a[j] -= (1ll << i);
}
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++) insert(a[i]);
ll ans = 0;
for(int i = 60; i >= 0; i--) {
if((p[i] ^ ans) > ans) ans = p[i] ^ ans;
}
cout << ans + (ans ^ all);
return 0;
}
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