【2019.8.11上午慈溪模拟赛 T2】十七公斤重的文明（seventeen）（奇偶性讨论+动态规划）

题意转化

考虑我们对于集合中每一个\(i\)，若\(i-2,i+k\)存在，就向其连边。

那么，一个合法的集合就需要满足，不会存在环。

这样问题转化到了图上，就变得具体了许多，也就更容易考虑、求解了。

奇偶性讨论

这题对于\(k\)为奇数/偶数的情况，要分别处理。

由于偶数情况较为简单，所以我们从偶数讲起。

当\(k\)为偶数

这时我们发现奇数和偶数是独立的。

我们分别求出奇数和偶数的方案数（\(DP(\lfloor\frac{n+1}2\rfloor,\frac k2)\)和\(DP(\lfloor\frac n2\rfloor,\frac k2)\)），然后乘起来即为总方案数。

而此时，原先的\(i-2\)现在就变成了\(i-1\)，因此只要不连续选择\(k+1\)个数即可。

那么就很简单了，设\(f_{i,j}\)表示当前第\(i\)个数，已连续选择了\(j\)个数，转移分选不选讨论。

当\(k\)为奇数

可以自己在草稿纸上画个图，画两列数，一列奇数，一列偶数，其中左边每个数\(i\)与右边\(i+k\)对齐，然后连上边。

然后再对着图研究下就可以发现，若能从右边某个数开始，只往下/左两个方向走，连续选择\(k+2\)个数，就不合法了。

那么我们直接设\(f_{i,j,k}\)表示当前第\(i\)行，最多连续选的数为\(j\)个，右边已连续选择\(k\)个数，转移分左右两边选不选共四种情况讨论。

提示一下，这里用刷表法\(DP\)似乎比较方便。

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define Tp template<typename Ty>

#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>

#define Reg register

#define RI Reg int

#define Con const

#define CI Con int&

#define I inline

#define W while

#define N 150

#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))

using namespace std;

int n,m,X;

class EvenSolver//k为偶数

{

	private:

		int f[N+5][N+5];

		I int DP(CI n,CI m)//处理小问题

		{

			RI i,j,ans=0;memset(f,0,sizeof(f));//清空

			for(f[0][0]=1,i=0;i^n;++i) for(j=0;j<=m;++j) Inc(f[i+1][0],f[i][j]),Inc(f[i+1][j+1],f[i][j]);//DP

			for(i=0;i<=m;++i) Inc(ans,f[n][i]);return ans;//统计答案

		}

	public:

		I void Solve() {printf("%d",1LL*DP(n+1>>1,m>>1)*DP(n>>1,m>>1)%X);}

}E;

class OddSolver//k为奇数

{

	private:

		int f[N+5][N+5][N+5];

	public:

		I void Solve()

		{

			RI i,j,k,ans=0;f[0][0][0]=1;//初始化

			for(i=0;i<(m>>1)+(n+1>>1);++i) for(j=0;j<=(n>>1);++j) for(k=0;k<=m+1;++k)//DP

				Inc(f[i+1][0][0],f[i][j][k]),i<(n>>1)&&Inc(f[i+1][j+1][0],f[i][j][k]),//两边都不选，左选右不选

				i>=(m>>1)&&Inc(f[i+1][0][k?k+1:0],f[i][j][k]),//左不选右选

				i>=(m>>1)&&i<(n>>1)&&Inc(f[i+1][j+1][max(j+2,k+1)],f[i][j][k]);//左右都选

			for(j=0;j<=(n>>1);++j) for(k=0;k<=m+1;++k) Inc(ans,f[(m>>1)+(n+1>>1)][j][k]);//统计答案

			printf("%d",ans);//输出答案

		}

}O;

int main()

{

	freopen("seventeen.in","r",stdin),freopen("seventeen.out","w",stdout);

	return scanf("%d%d%d",&n,&m,&X),m&1?O.Solve():E.Solve(),0;

}

巴特西

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奇偶性讨论

当\(k\)为偶数

当\(k\)为奇数

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