opengl中相关的计算机图形变换矩阵之：齐次坐标（摘编）

模型视图变换（几何变换）矩阵：

1. 齐次坐标：两条平行线也可以相交。

在欧几里得空间中，两条平行线是无法相交的，但是在投影空间(Projective Space)这条定理就不再适用了。

比如上图中，两条平行的铁轨由于距离我们越来越远，终于在视平线处相交了，相交点是“无限远”。

欧式空间对2D/3D空间的描述恰到好处，但是对投影空间就力不能及了（事实上，欧式空间是投影空间的一个子集）。

通常在二维空间中，我们把一个点表示为(x, y)，那么如果这个点位于无限远又如何表示呢？一般是 (∞,∞)，

而这样一个数学符号对我们的意义就太小了，因为它很难进行计算和变换。

为了描述“在无限远处”相交这个情景，数学家们发明了另一种坐标系，即齐次坐标系。

解决方案：齐次坐标系

简单来说，齐次坐标系就是使用N+1个数来表示N维欧式空间的方式，比如欧式空间中有一点(X,Y)，那么在齐次空间中将被表示为(x,y,w)，其中W为投影变量，W的作用就是把齐次空间转换回欧式空间：

X = x/w
Y = y/w

举个例子来说，欧式空间中有一点(1, 2)，在齐次空间中将被表示为(1,2,1). 如果这个点向无限远处运动变成了(∞,∞)，齐次坐标就可以表示为(1,2,0)，因为1/0和2/0正好也是无限大。也就是说，我们可以不使用"∞"就可以表示无限大了。

验证

回到我们最初的问题，假如在欧式空间中有两条平行线：

只要C不等于D，他们永远不会相交。

现在我们使用齐次坐标系来重写这两条线：

很容易发现，这两条线在(x, y, 0) 初相交，也就是无限远处。

齐次坐标在计算机视觉处理上非常有用，比如把3D空间投影到屏幕上(2D)。

原文：http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html

2. 向量与齐次坐标

一个n维向量用齐次坐标表示为一个n+1维向量。

(x1,x1,...,xn)->(wx1,wx2,...,wxn,w),齐次向量的表示不是唯一的，例如齐次坐标[8,4,2]与[4,2,1]都表示点(4，2).

3.齐次坐标的应用

利用齐次坐标可以用矩阵运算，把二维、三维或高维空间点集从一个坐标系转换到另一个坐标系，实现了方便的数学计算。

巴特西